Cálculo Diferencial e Integral I

lim
x→0
−
f ( x)
− f ( 0)
x − 0
=
lim
x→0
−
x
−
x
0
=
− x
lim
x
x→0
−
=
lim ( −1)
= −1
x→0
−
e
lim
x→0
+
f ( x)
− f ( 0)
x − 0
=
lim
x→0
+
x
−
x
0
=
lim
x→0
+
x
x
=
lim 1 = 1
x→0
+
f ( x)
− f ( 0)
f ( x)
− f ( 0)
f ( x)
− f ( 0)
temos que lim
≠ lim
. Daí, lim
não existe e,
− x − 0
+ x 0
x→0 x − 0
x→0 x→0
−
portanto f ( x)
= x não é derivável em a = 0 . Note que f ( x)
= x não admite reta
tangente em ( 0,
0)
.
Figura 1: Gráfico de
f ( x)
= | x |
Este exemplo nos motiva a seguinte definição:
Definição 3: Seja f uma função definida em a . Então, a derivada à direita de
f em a , denotada por f +
′ (a)
, é dada por
f ( a + h)
− f ( a)
,
h
caso este limite exista a derivada à esquerda de f em a , denotada por f −
′ (a)
, é
dada por
f ′ ( a)
=
−
lim
f ′ ( a)
=
+
x→a
−
lim
x→a
+
f ( x)
− f ( a)
=
x − a
f ( x)
− f ( a)
=
x − a
lim
h→0
−
lim
h→0
+
f ( a + h)
− f ( a)
, caso este limite exista.
h
Observação 2: Uma função é derivável (ou diferenciável) em
a , quando as
derivadas laterais (derivada à direita e à esquerda) existem e são iguais no ponto a ,
e neste caso, seu valor é o valor comum das derivadas laterais, isto é,
′(
a)
= f ′ ( a)
= f ( a)
.
f − +
′
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