Cálculo Diferencial e Integral I

Figura 3: f é decrescente em [ − 4,
0]
, crescente em [ 0 , 4]
e constante em [ 4,
8]
Podemos observar que, sendo f derivável em um intervalo aberto I (isto é, o
gráfico de f admite reta tangente em todos os pontos do intervalo aberto I ). Se a
declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( x,
f ( x)),
x∈
I,
é negativa, a
função f é decrescente em I . Se a declividade da reta tangente é positiva, a
função f é crescente em I . Se a declividade da reta tangente no ponto
( x,
f ( x)),
x∈ I,
é zero, a função é constante em I .
Formalizando o resultado acima, segue o teorema 2.
Teorema 3 (Teste da 1ª derivada para Crescimento/Decrescimento): Seja
uma função contínua no intervalo fechado [ a,
b]
e derivável no intervalo aberto
( a,
b)
.
• Se f ′(x)
> 0 , ∀ x∈( a,
b)
então f é crescente em [ a,
b]
.
• Se f ′(x)
< 0 , ∀ x∈( a,
b)
então f é decrescente em [ a,
b]
.
• Se f ′(x)
= 0 , ∀ x∈( a,
b)
então f é constante em [ a,
b]
.
f
Demonstração:
Sejam x 1, x 2 ∈[ a,
b]
, com 1 x 2 . Como é contínua em [ x 1,
x2]
⊂ a,
b e
derivável em ( x , x ) ⊂ ( a,
b)
temos, pelo Teorema do Valor Médio, que existe
1
2
x < f [ ]
f ( x
c ∈ [ x 1,
x
2)
− f ( x1)
2]
tal que f ′(
c)
=
, ou seja, f ( x2 ) − f ( x1)
= f ′(
c)(
x2
− x1)
. Além
x2
− x1
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