Cálculo Diferencial e Integral I

Observação 4: Vale ressaltar que a propriedade
não é aplicável se o limite
do denominador for zero. Entretanto, se o numerador e o denominador ambos
x
a
aproximam-se de zero quando aproxima-se de , então o numerador e o
x − a
denominador poderão ter um fator comum (neste caso, o limite poderá ser
obtido cancelando-se primeiro os fatores comuns, conforme ilustram os exemplos 4 e
5) ou poderá ocorrer outras situações nas quais iremos abordar mais adiante.
P
5
Exemplo 4: Para achar
lim
x
3
+ 3x
+ x + 3
2
x + x
x→−3
3
não podemos utilizar a
propriedade P , pois o limite do denominador é zero. No entanto, o limite do
5
numerador também é zero e daí eles compartilham um fator comum x + 3 . Portanto
o limite pode ser obtido da seguinte maneira:
2
lim
x→−3
x
3
+ 3x
x
2
2
+ x + 3
+ 3x
=
x→−3
P5 x→−3
=
( x + 3)(
x + 1)
lim
x ( x + 3)
lim ( x
lim
2
x→−3
+ 1)
x
2
( ∗)
=
x→−3
10 10
= = −
− 3 3
2
( x + 1)
lim
x
(∗ Desde que estamos apenas supondo que o valor de x esteja aproximando-se do valor − 3
)
, x não é igual a − 3 , ou seja, x + 3 ≠ 0 . Assim podemos utilizar a simplificação algébrica
que não tem efeito no cálculo do limite, quando x se aproxima de − 3 . Daí, posteriormente,
podemos aplicar a propriedade P .
5
f ( x)
lim
a g ( x )
Observação 5: No caso de lim f ( x)
= 0 e lim g(
x)
= 0 é comum dizer que
x→
a
tem uma indeterminação do tipo
x→ 0
x→
a
0
. Nesta situação, nada se pode afirmar
f ( x)
de imediato sobre lim . Dependendo das funções f e g o limite do quociente
x→ a g ( x )
f ( x)
pode assumir qualquer valor real ou não existir. No exemplo 4 verificamos que
g(
x)
10
o limite existiu e seu valor foi − .
3
26