Cálculo Diferencial e Integral I

Observação 1: O conhecimento do teorema 3 nos permite justificar, por
exemplo, as seguintes propriedades de limites:
n ⎡ ⎤
• lim [ f ( x)
] = f x , para qualquer inteiro positivo ;
x a
⎢ lim ( )
→
x a
⎥
n
⎣ → ⎦
n
• lim f ( x)
= n lim f ( x)
, desde que lim ( x)
≥ 0 e n é qualquer inteiro
x→
a
x→
a
x→
a
f
positivo ou lim ( x)
< 0 e n é qualquer inteiro positivo ímpar;
x→
a
⎡ ⎤
• lim ln[ f ( x)]
= ln ⎢ lim f ( x)
⎥ , desde que lim f ( x)
> 0 ;
x→
a
⎣x→
a ⎦
x→
a
⎡ ⎤
• lim cos[ f ( x)]
= cos ⎢ lim f ( x)
⎥ , desde que exista lim f ( x)
;
x→
a
⎣x→
a ⎦
x→ a
⎡ ⎤
• lim sen[ f ( x)]
= sen ⎢ lim f ( x)
⎥ , desde que exista lim f ( x)
;
x→
a
⎣x→
a ⎦
x→ a
lim f ( x)
x→
a
f ( x)
• lim e = e , desde que exista lim f ( x)
.
x→ a
x→
a
n
f
Teorema 4: Seja f uma função contínua num intervalo I . Seja J = Im( f ) . Se
f
admite uma função inversa g = f
− : J → I , então g é contínua em todos os pontos
de J .
1
Observação 2: Com auxílio do teorema 4 podemos justificar a continuidade de
várias funções inversas, como por exemplo, y = ln x , y = arcsen x , y = arccos x ,
y = arctg x
.
Teorema 5 (Teorema do Valor Intermediário - TVI): Se
f é contínua em um
intervalo fechado [ a,
b]
e se w é um número entre f (a)
e f (b)
então existe ao
menos um número c em [ a,
b]
tal que f ( c)
= w .
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