Cálculo Diferencial e Integral I

L′
( x)
=
2
a
2x
2
+ x
2
+
2
2(
d − x)(
−1)
b
2
+ ( d − x)
2
=
a
2
x
+ x
2
+
( d − x)(
−1)
b
2
+ ( d − x)
2
e
L′
( x)
= 0 ⇔
⇔
⇔
⇔
⎛
⎜
⎝
b
x
2
b
a
x
2
2
2
b
x
x
+ x
2
a d
⇔ x =
a + b
b
+ ( d − x)
+ x ( d − x)
2
=
2
2
+
2
( d − x)(
−1)
2
2
a ( d − x)
+ ( d − x)
⎞
⎟
⎠
2
2
= 0
=
⎛
⎜(
d − x)
⎝
a
⇔ x
+ x
⇔ b x = a ( d − x)
b
⎞
⎟
⎠
+ ( d − x)
⇔
= a ( d − x)
+ x ( d − x)
⇔ b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
2
2
2
2 2 2
[ b + ( d − x)
] = ( d − x)
( a + x )
2
2
x
2
= ( d − x)
2
a
2
2
= a ( d − x)
Denotaremos por x a d
= este ponto. Vamos mostrar agora que . De
o a +
x o ∈ ( 0,
d)
b
fato, é claro que
x o
> 0 . Por outro lado,
ad
0 < b ⇒ a < a + b ⇒ ad < ( a + b)
d ⇒ < d ⇒ xo < d .
a + b
Daí, x a d
= é o único ponto crítico de em . Note que
o a +
L ( 0,
d)
b
2
2
L( x o ) = ( a + b)
+ d + , L( 0) = b + d + a + e L(
d)
= a + d + b + .
Deixamos como exercícios mostrar que L( x o ) < L(
0)
e L( x o ) < L(
d)
. Com isso,
podemos concluir que L( x o ) é o valor mínimo absoluto de L em [ 0,
d]
, ou seja, a
a d
ponte deverá estar localizada a uma distância da projeção do ponto X à
a + b
margem do rio ao ponto A , conforme ilustra a figura 1.
2
2
2
+ x
2
2
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