Cálculo Diferencial e Integral I

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Figura 6: Gráfico da função hNote queDom ( h)= IRe Im ( g)= ( −∞,4].13
CAPÍTULO 2. LIMITES DE FUNÇÕES2.1 Noção Intuitiva de LimiteO conceito de limite é base fundamental de todos os conteúdos de CálculoDiferencial e Integral. Portanto, será o ponto de partida para o estudo da teoria docálculo.Para iniciarmos nosso estudo sobre limites, vamos considerar alguns modelosilustrativos.2x − 4Exemplo 1: Seja f : RI − { 2 } → RI a função definida por f ( x).= x − 2Observe que f (x) existe para todo x , exceto x = 2 . Investiguemos o comportamentode f (x) quando x se aproxima de 2 , porém excluindo o 2 . Neste caso, dizemosque x tende a 2 e usaremos a notação x → 2 . Observemos que existem duaspossibilidades para x se aproximar de 2 :(i) x se aproxima de 2 por valores superiores a 2 e, neste caso, diremos que+x tende para 2 pela direita (notação: x → 2 )xf (x)3 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,000015 4,5 4,1 4,01 4,001 4,0001 4,000012,0000014,000001……(ii) x se aproxima de 2 por valores inferiores a 2 e, neste caso, diremos que−x tende para 2 pela esquerda (notação: x → 2 )xf (x)1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,999993 3,5 3,9 3,99 3,999 3,9999 3,999991,9999993,999999……Note que, em ambas as tabelas, à medida que x fica cada vez mais próximo de2 , tanto pela direita, quanto pela esquerda, os valores de f (x)tornam-se cada vezmais próximo de 4 .2x − 4 ( x − 2)( x + 2)Por outro lado, f ( x)= =e se x ≠ 2 , temos que x − 2 ≠ 0 .x − 2 x − 2Logo, podemos cancelar o fator comum e reescrever f ( x)= x + 2 . Assim, o gráfico def (x) será a reta y = x + 2 , com o ponto ( 2,4 ) excluído. Observando o gráfico de14
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Figura 7: Reta secante à curvay =f
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Definição 1: Suponhamos que C é
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Figura 9: Reta tangente vertical ao
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Resumo: Com esta definição e conf
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dPortanto, ( sen x) = cos x .dxExem
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é um número real e, portanto,f (a
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Para provar essa regra seguimos a d
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Derivada do produto de uma constant
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isto é, y = 4ax− 2a2 − 1 é a
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Derivada do quociente: Sejamf egfun
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2(cotg x)′ = − cossec• Se y =
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b)ddx( 3 − x )=2−13 − x11. De
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Vimos que, para derivar a função
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⎛ π ⎞ ππComo y = sen ⎜ −
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1)2)3)4)5)6)7)y = cosu⇒ y′=(
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Exemplo 1: A equaçãox2+ y2= 16def
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de derivação implícita descrito
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dyutilizaremos o método de deriva
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f ′(x)= − 1(3x+ 1)−2f ′′(
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3.6 Derivadas de Funções Inversas
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Precisamos, agora, escrever cos y e
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ddx2Exemplo 3: Para derivar y = ln
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Teste o seu conhecimento1. Ache os
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8. Seja a função definida por f x
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Vamos agora analisar o comportament
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∆sLogo, para t = 3 tem-se que v(
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Solução: Como a população mundi
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comprimento da circunferência, em
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Derivando implicitamente, em relaç
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determinarPelos dados do problema p
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4.3 Funções Crescentes e Decresce
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Figura 3: f é decrescente em [ −
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Observação 2: Utilizaremos os sí
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Diretrizes para Determinar os Extre
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Nestes exemplos podemos observar qu
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Teorema 2 (Teste da 2ª derivada pa
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4.6 Assíntotas Horizontais e Verti
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lim f ( x)= limx→−2x→−2x +
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Solução: Já vimos no exemplo 2 d
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nesse trecho, conforme a figura. As
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CAPÍTULO 5. INTEGRAÇÃONeste cap
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Teorema 3: Se F e G são primitivas
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x∫ cos dxExemplo 3: Calcule a int
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⎧2 ⎨⎪⎩10 ⎛ 2x− 6 ⎞⎫
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u = x dv = cos x dxdu = dx v = sen
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Observação 3: Em todas as integra
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5.5 Integração por Substituição
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Observação 2: Havendo alguma difi
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numerador e o denominador da funç
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Exemplo 3: Calcule a integral∫23x
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Vejamos,Solução: O primeiro passo
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∫tg3x dx= 22∫tg x⋅tg x dx =
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5.8 Área e Integral DefinidaAgora
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Observação 3: Uma observação de
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∫ baf ( x)dx ≥ 0Teorema 5: Seja
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Teorema 2 (Teorema Fundamental do C
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A vantagem do segundo procedimento
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Exemplo 3: Determine a área limita
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Exemplo: Calcule o volume V do sól
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18. Calcule o volume do sólido ger
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