Cálculo Diferencial e Integral I

5.6 Integração por Frações Parciais
Inicialmente, lembremos que uma função racional é, por definição, o quociente
entre duas funções polinomiais, isto é,
onde p (x) e q(x)
são funções polinomiais. Vale ressaltar que algumas funções
racionais simples podem ser resolvidas por processos de integração vistos
anteriormente, como, por exemplo, as integrais
1
∫ x
2
1 2x
1
dx ,
∫
dx
2
, dx e
x +16 ∫
dx
2
x + 4 ∫ 2
x + 6x
+ 13
Nesta seção vamos apresentar um método de integração, denominado
“Integração por Frações Parciais”. Este método se baseia em escrever a função
racional como soma de frações mais simples, na esperança de facilitar a integração,
integrando as frações mais simples. Para isto, usaremos um resultado da Álgebra, que
é dado no teorema que se segue.
Teorema 1: Todo polinômio, com coeficientes reais, pode ser escrito como um
produto de fatores lineares e/ou quadráticos irredutíveis, todos com coeficientes
reais.
Demonstração: Não veremos a demonstração neste curso para não desviarmos
de nosso objetivo imediato que são as técnicas de integração. Não obstante, o
estudante verá a demonstração em um curso de álgebra mais adiante. Dividiremos o
nosso estudo em quatro casos, dependendo de como o denominador q(x) , da função
racional f ( x)
=
p(
x)
, seja decomposto. Admitiremos no que segue que o grau de
q(
x)
p (x) é menor que o grau de q (x)
, isto é, ∂p( x)
< ∂q(
x)
, se isso não ocorrer,
façamos a divisão inicialmente, e desta forma voltaremos aos casos tradicionais. Mais
precisamente, se ∂ p( x)
≥ ∂q(
x)
então existem polinômios m (x)
e r(x)
tais que
p ( x)
= q(
x)
⋅ m(
x)
+ r(
x)
, onde ∂r( x)
< ∂q(
x)
, assim obtemos
p(
x)
q(
x)
⋅ m(
x)
+ r(
x)
r(
x)
f ( x)
dx = dx =
∫
dx =
∫
m(
x)
dx
∫
dx , onde
q(
x)
q(
x)
q(
x)
∫ ∫
+
∂r( x)
< ∂q(
x)
.
Outra simplificação útil em nosso estudo é admitir que o polinômio q(x) possui
coeficiente do termo de mais alto grau igual a 1,
se isto não ocorrer divida o
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