Cálculo Diferencial e Integral I

Observação 3: De forma análoga ao que foi visto para funções contínuas,
podemos definir função derivável nos seguintes intervalos:
( a,
b)
, [ a,
b]
, [ a,
b)
, ( a,
b],
( −∞ , +∞),
[ a,
+∞),
( a,
+∞),
( −∞,
b],
( −∞,
b)
.
Exemplo 8: Para verificar que a função
⎪⎧
2
x + 1
f ( x)
= ⎨ 2
⎪ ⎩ −1−
x
x ≤ 0
x > 0
derivável em a = 0 devemos calcular as derivadas laterais em a = 0 . Vejamos:
se
se
não é
f ′ ( 0)
=
−
lim
x→0
−
f ( x)
− f ( 0)
x − 0
=
lim
x→0
−
x
2
+ 1−1
x
=
lim
x→0
−
2
x
x
=
lim x = 0
x→0
−
e
f ′ ( 0)
=
+
lim
x→0
+
f ( x)
− f ( 0)
x − 0
=
x→0
+
2
−1−
x
lim
x
− 1
=
x→0
+
2
− x − 2
lim
x
= − ∞
Como a derivada lateral à direita não existe, temos que f não é derivável em a = 0 .
Note que, neste exemplo, f também é descontínua em a = 0 .
Figura 2: Gráfico de
f
⎪⎧
2
− x + 2x
se x ≤ 1
Exemplo 9: Para verificar que a função g ( x)
= ⎨ −1
⎪⎩ x se x > 1
derivável em a = 1 devemos calcular as derivadas laterais em a = 1. Vejamos:
não é
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