Cálculo Diferencial e Integral I

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Teste o seu conhecimento1. Uma pedreiro deixa uma escada de 12 m de comprimento encostada na lateral de um prédio.Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,8 m/s, qual a velocidade otopo da escada percorre a parede, quando está a 7m do solo?2. Uma bola de neve desce uma montanha e seu volume aumenta à taxa de 16dm 3 /min. Determinea taxa a qual o raio é aumentado quando a bola de neve tem 8 dm de diâmetro.3. Uma móvel parte de um ponto P em direção leste a 4m/s. Um minuto depois, outro móvel partede P e segue em direção norte a 3m/s. A que taxa está variando a distância entre eles 1 minutodepois da partida do segundo móvel?125
4.3 Funções Crescentes e DecrescentesVimos que a interpretação geométrica da derivada de uma função f em umponto P( a,f ( a))é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em P .Este fato nos permite aplicar as derivadas como um auxílio no esboço de gráficos. Porexemplo, a derivada pode ser usada para determinarmos os pontos em que a retatangente é horizontal; para encontrarmos os intervalos em para os quais o gráfico deuma função está acima ou abaixo da reta tangente, etc.Antes de aplicarmos a derivada para traçarmos esboço de gráficos necessitamosde algumas definições e resultados.Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo I . Então• f é crescente em I se, para todo x1, x 2 ∈ I , com x 1 < x 2tem-se que f ( x1)< f ( x2) .• f é decrescente em I se, para todo x1, x 2 ∈ I , com x 1 < x 2 tem-se que f ( x1)> f ( x2) .• f é constante em I se, para todo x1, x 2 ∈ I , tem-se que f ( x1)= f ( x2).Em outras palavras, f é crescente em I se, a medida que x∈ I aumentaocorrer também um aumento no valor f (x) , e, f é decrescente em I se, à medidaque x∈ I aumenta ocorrer que o valor f (x)diminui (veja figura 1).Figura 1: f é decrescente em [ − 4,0], crescente em [ 0 , 4]e constante em [ 4,8]126
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UniversidadeFederaldeViçosaDeparta
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DiretorFrederico Vieira PassosPréd
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SUMÁRIOCAPÍTULO 1. REVISÃO DE FU
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PREFÁCIOEsta obra intitulada CÁLC
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Definição 1: Sejam D e B subconju
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Exemplo 2: Seja g a função defini
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Figura 4: Gráfico da funçãof ( x
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CAPÍTULO 2. LIMITES DE FUNÇÕES2.
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A aproximação de a deve ser consi
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x − 2=| x − 2|Exemplo 4: Seja h
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δ 1Assim, tomando o número como s
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Observação 4: Vale ressaltar que
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Teorema do Confronto (ou Teorema do
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lim f ( x)= L∀ε > 0 , ∃δ > 0
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02 ⎛ 2 ⎞x 722⎜ −77 22⎟−
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36[ ]211111111112222224222442422422
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Exemplo 1: Para acharx lim→−∞
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limx→−∞2x+ 5=22x− 5( ∗)=l
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5. Calcule os limites, se existirem
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xJá, o gráfico de g x⎞⎜⎛ 1(
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xa ⎡ 1 ⎤ a ⎡1 ⎤ a⎛ a ⎞l
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Definição: Dizemos que:• f é c
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Exemplo 2: Considere a função⎧5
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Figura 1: Ilustração gráfica do
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Podemos utilizar este resultado par
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Teste o seu conhecimentoNos exercí
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CAPÍTULO 3. DERIVADA3.1 Reta Tange
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Eis que Fermat, grande matemático
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Figura 7: Reta secante à curvay =f
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Definição 1: Suponhamos que C é
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Figura 9: Reta tangente vertical ao
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Resumo: Com esta definição e conf
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dPortanto, ( sen x) = cos x .dxExem
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Vejamos,Solução: O primeiro passo
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∫tg3x dx= 22∫tg x⋅tg x dx =
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5.8 Área e Integral DefinidaAgora
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Observação 3: Uma observação de
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∫ baf ( x)dx ≥ 0Teorema 5: Seja
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Teorema 2 (Teorema Fundamental do C
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A vantagem do segundo procedimento
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Exemplo 3: Determine a área limita
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Exemplo: Calcule o volume V do sól
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18. Calcule o volume do sólido ger
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