Cálculo Diferencial e Integral I

Observação 3: A recíproca do Teorema de Fermat não é verdadeira, isto é,
f ′(c)
= 0 não implica necessariamente que f tem um extremo relativo em c . Este
fato pode ser visualizado na figura 1 acima tomando c = , pois f ′(c
) 0 e, no
entanto, f (c) não é um extremo relativo de f . Daí, se f é uma função derivável,
os únicos valores possíveis de x para os quais f possa ter um extremo relativo serão
aqueles que f ′(x)
= 0 .
x 5
5 =
Observação 4: Notemos também que uma função
pode ter um extremo
relativo em c e f ′(c)
pode não existir. Este fato pode ser visualizado também na
figura 1 acima tomando c = x 2 , ou c = x6
, pois / ∃ f ′(
x2
) e / ∃ f ′(
x6
) e, no entanto,
f ′( x 2 ) e f ′ x ) são extremos relativos de f .
( 6
f
Definição 4 (ponto crítico): Um número
f quando c ∈ Dom( f ) e f ′(c)
= 0 ou f ′(c)
não existe.
c é chamado ponto crítico de uma função
Conclusão: Se f é uma função definida em c , os únicos números possíveis
de c para os quais f possa ter um extremo relativo são aqueles que f ′(c)
= 0 ou
f ′(c)
não existe. Isto é, f tem um extremo relativo em c então c é um ponto
crítico de f .
Exemplo 1: Para encontrar os pontos críticos da função
devemos inicialmente observar que Dom ( f ) = IR . Agora, como
f ( x)
2
2
( − 9) 3
= x
f ′(
x)
=
2
3
2
( x − 9)
− 1
3
⋅ 2x
=
4
⋅
3
3 2
x
x
− 9
temos que os pontos nos quais f não é derivável são x = −3
e x = 3 . Além disso,
f ′(
x)
= 0 ⇔ x = 0 .
Como os números x = −3 , x = 3 e x = 0 pertencem ao Dom( f ) , segue que
estes são os pontos críticos de f .
Exemplo 2: Para encontrar os pontos críticos da função
devemos inicialmente observar que
x
f ( x)
=
x 2 − 9
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