Cálculo Diferencial e Integral I

Teorema 2 (Teste da 2ª derivada para extremos relativos): Seja
f f ′(c)
= 0 f ′ cI
um ponto
crítico c de no f ′′(c
qual )
e é derivável em um intervalo aberto contendo
. Então, se existe e
• se f ′ (c)
> 0 então f tem um mínimo relativo em c .
• se f ′ (c)
< 0 então f tem um máximo relativo em c .
2000
x
2
Exemplo 3: Encontre os extremos relativos de f ( x)
= + 2π
x .
− 2000
Solução: Temos que f ′(
x)
= + 4π
x .
2
x
Daí,
− 2000
3
f ′(
x)
= + 4π x = 0 ⇒ 4π
x = 2000 ⇒ x =
2
x
3
500
π
(único ponto crítico de
f )
Como
4000
f ′′(
x)
= + 4π segue que
3
x
⎛ 500 ⎞
⎜
4000
3 ⎟
π
f ′ =
+ 4π
= 4000 ⋅ + 4π
= 12π
>
3
⎝ π ⎠ ⎛ 500 ⎞
500
⎜ 3 ⎟
⎝ π ⎠
Portanto, pelo teste da 2ª derivada, temos que
x = 3 500
π
0 .
tem um mínimo relativo em
⎞
, ou equivalentemente, ⎟
⎜ ⎛
3
500
f
é o único valor mínimo relativo de f .
⎝ π ⎠
f
Experimente aplicar o teste da 1ª derivada, será bem mais trabalhoso!
Observação 2: O teste da 2ª derivada para extremos relativos é, às vezes,
mais simples de ser aplicado do que o teste da 1ª derivada, pois não precisamos
analisar o sinal da 1ª derivada e nem da 2ª derivada, basta apenas saber o sinal da
derivada 2ª aplicada no ponto crítico. Porém, se c é um ponto crítico de f e
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