Cálculo Diferencial e Integral I

Observação 1: A letra do alfabeto utilizada para representar a variável de
uma função não é relevante. No exemplo 1, é comum dizermos que a inversa da
3
1
função f ( x)
= 8x é a função g ( x)
= 3 x cuja derivada é dada por
2
1 3
−2/
g′ ( x)
= x , ∀x
∈ I , onde usamos como variável, a letra x no lugar de y .
6
Teorema 2 (Derivada da função logarítmica): Se
1
y′
= .
x ⋅ ln a
y = log x , ( a > 0 e a ≠ 1),
a
então
Demonstração: Sabemos que se y = log x então a y = x . Derivando
implicitamente em relação a x a equação a y = x e utilizando a consequência 8 da
d y d
y dy dy 1 1
regra da cadeia temos [ a ] = [ x]
⇒ a (ln a)
= 1 ⇒ = =
dx dx
dx dx
y
a ⋅ ln a x ⋅ln
a
a
y′
=
Em particular se a = e temos a função y = log e x = ln x e a derivada será
1 1
= .
x ln e x
Teorema 3 (Derivada da função inversa do seno): Se
y′
=
1
1−
x
2
.
y = arcsen x
, então
Demonstração: Sabemos que a função inversa da função seno é definida por
π
y = arcsen x ⇔ sen y = x e − ≤ y
2
a equação sen y = x obtemos
π
≤ . Derivando implicitamente em relação a
2
x
d
dx
d
dx
[ sen y] = [ x]
⇔
(cos y)
y′=
1 ⇒ y′
=
1
.
cos y
105