Cálculo Diferencial e Integral I

Observação 2: Havendo alguma dificuldade para retornar à variável original x ,
faça uso de um triângulo retângulo que satisfaz a relação
cateto oposto
tg θ =
=
cateto adjacente
x
.
2
Exemplo 3: Calcule a integral
Solução:
2
∫
x − 4
∫
2
∫
x − 4
dx
(* dx
)
=
2 − ⋅ ⋅ =
2
(2secθ
) 4 2secθ
tgθ
dθ
4(sec θ − 1) ⋅ 2secθ
⋅ tgθ
dθ
=
2
=
∫
4tg θ ⋅ 2secθ
⋅ tgθ
dθ
= 4∫secθ
⋅ tg
∫
2
θ dθ
=
2
3
= 4∫secθ
⋅ (sec θ −1)
dθ
= 4∫sec
θ − secθ
dθ
=
3
= 4∫sec
θ dθ
− 4∫secθ
dθ
=
[ θ ⋅ tgθ
+ ln secθ
+ tgθ
] − 4ln secθ
+ tgθ
+ =
= 2 sec
C
[ θ ⋅ tgθ
− ln secθ
+ tg ] + C
= 2 sec
θ
⎡ x
2
⎣⎢
x − 4
4
x +
ln
x
2
− 4 ⎤
(* )
2
2
= ⎢ −
⎥ + C
⎥⎦
( Façamos a substituição = 2secθ
*)
x
e secθ
= .
2
Além disso,
( Vimos no exemplo 5 da seção 5.4, que
1
**)
e
∫
x ⇒ dx = 2secθ
⋅ tgθ
dθ
∫
2 −
tgθ
= x
2
sec x dx = ln sec x + tg x + C
[ sec x ⋅ tg x + ln sec x + tg x ] C
1
sec 3 x dx =
+
2
4
Observação 3: Havendo alguma dificuldade para retornar à variável original
x , faça uso de um triângulo retângulo, construa o triângulo retângulo com a
informação de que
1
secθ
= =
cosθ
hipotenusa
cateto adjacente
=
x
.
2
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