Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
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• Para
• Para
x = 2 , temos que − B = 1⇒
B = −1
1
x = 3 , temos que 2 C = 1⇒
C =
2
Desta forma, podemos escrever
1
=
( x −1)(
x − 2)( x − 3)
1
2 +
x −1
−1
+
x − 2
1
2
x − 3
Note que, neste caso, não é aconselhável multiplicar os fatores e fazer
identificação de polinômios, daria mais trabalho. Não obstante, se assim
procedermos, obteríamos o mesmo resultado.
Exemplo 2: Calcule a integral
∫
x
4
3 2
− 2x
−13x
+ 38x
− 23
dx
3 2
x − 6x
+ 11x
− 6
Solução: Como o grau do numerador, p(x) , é maior que o grau do
denominador,
Assim,
∫
x
4
q(x) , efetuamos inicialmente a divisão dos polinômios, para obter:
x
4
− 2x
3
−13x
2
+ 38x
− 23 = ( x + 4)( x
3 2
− 2x
−13x
+ 38x
− 23
dx =
3 2
x − 6x
+ 11x
− 6
∫
3
− 6x
2
+ 11x
− 6) + 1
3 2
( x + 4)( x − 6x
+ 11x
− 6) + 1
dx =
3 2
x − 6x
+ 11x
− 6
3 2
( x + 4)( x − 6x
+ 11x
− 6) + 1
=
∫
dx = + +
− + − ∫(
x 4)
3 2
x 6x
11x
6
x
3
− 6x
2
1
dx =
+ 11x
− 6
1
=
∫( x + 4) dx +
∫
dx
3 2
x − 6x
+ 11x
− 6
Exemplo1
=
2
x
2
+ 4x
+ ln
2
x − 4x
+ 3
x − 2
+ K
(Caso 2) q(x) é um produto de fatores lineares distintos, alguns dos quais
repetidos.
Se um determinado fator linear de q(x)
, digamos x − a , tem multiplicidade k ,
a esse fator corresponderá uma soma de frações parciais da forma
A 1 A 2
+
x − a ( x − a )
2
A
+ +
( x − a )
k − 1
k − 1
A k
+
( x − a )
k
Estas constantes podem ser determinadas conforme o exemplo que se segue.
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