Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Derivada do produto de uma constante por uma função: Sejam
f uma função
derivável e c uma constante.
d
d
Se y = c f ( x)
então y′
( x)
= c f ′(
x)
, ou equivalentemente, [ c f ( x)
] = c [ f ( x)
] .
dx dx
Em palavras, "a derivada de uma constante por uma função é a constante pela
derivada da função".
Para provar essa regra usaremos a definição de derivada. De fato,
y(
x + h)
− y(
x)
y′
( x)
= lim
=
h→0
h
f ( x + h)
− f ( x)
= c lim
h→0
h
cf ( x + h)
− cf ( x)
lim
h→0
h
= c f ′(
x)
=
⎡ f ( x + h)
−
lim c
h→0
⎢
⎣ h
f ( x)
⎤
⎥
⎦
Exemplo 4: Vejamos alguns exemplos:
5
4
f ( x)
= 2x
⇒ f
(i)
/ ′(
x)
= 10x
(ii) f ( x)
= 3 sen x ⇒ f/
′(
x)
= 3cos
x (veja exemplo 4, seção 3.2)
x
4
1 x
x
(iii) f ( x)
= ⇒ f/
′(
x)
= ⋅ 4 ⋅ ln 4 = 4 ln 2 (veja exemplo 6, seção 3.2)
2
2
Derivada de uma soma: Sejam f e g funções deriváveis. Se y = f ( x)
+ g(
x)
,
d
d d
então , ou equivalentemente, [ f ( x)
+ g(
x)
] = [ f ( x)
] + [ g(
x)
] . Em palavras, "a
dx
dx dx
derivada da soma é a soma das derivadas".
Para provar essa regra usaremos a definição de derivada. De fato,
y(
x + h)
− y(
x)
y′
( x)
= lim
= lim
h→0
h
h→0
[ f ( x + h)
− f ( x)
] + [ g(
x + h)
− g(
x)
]
= lim
h→0
h
= f ′(
x)
+ g′
( x)
[ f ( x + h)
+ g(
x + h)
] − [ f ( x)
+ g(
x)
]
h
f ( x + h)
−
= lim
h→0
h
f ( x)
g(
x + h)
− g(
x)
+ lim
h→0
h
80