Cálculo Diferencial e Integral I

disso, se f ′(x)
> 0 , ∀ x∈( a,
b)
e c [ x , x ] ⊂ [ a,
b]
então f ′(c)
> . Daí, sendo
x − x 0 e f ′(c)
> 0 segue que ( x ) − f ( x ) = f ′(
c)(
x − x ) 0 , para todo x ,
2 1 >
x 2 ∈[ a,
b]
. Portanto, f ( x2)
> f ( x1)
para todo x 1, x 2 ∈[ a,
b]
isto é, f é crescente em
[ a,
b]
.
É análoga a parte (i).
Sejam x , x ∈[ a,
b]
, com x < . Pelo Teorema do Valor Médio aplicado a
1
em x , ] , existe c ∈ x 1 , x ] tal que f x ) − f ( x ) = f ′ ( c )( x − ) . Como f ′(x)=
0 ,
[ 1 x 2
∀ x∈( a,
b)
e c [ x , x ] ⊂ [ a,
b]
então f ′(c)
= . Daí, f ( x ) − f ( x ) = f ′(
c)(
x − x ) 0 ,
ou seja, f x ) = f ( ) , x , x ∈[
a,
b]
.
Observe a figura 4:
2 1 x 2
[ 2
∈ 1 2
0
( 2 x1
∀ 1 2
∈ 1 2
0
f 2 1
2 1 >
1
( 2 1
2 x1
2 1
2 1 =
f
Figura 4: Teste da 1ª derivada
• No intervalo aberto ( x1,
x2
) temos que f ′(x)
= 0 , ( 1,
x 2 ) , pois todas as
retas tangentes ao gráfico de f são horizontais e, portanto, f é constante no
intervalo fechado [ x 1 , x2
] ;
• Nos intervalos aberto ( 2 , 3 ) , 4 , 5 ) e 5 , 6 ) temos que ,
pois todas as retas tangentes ao gráfico de f são inclinadas para a direita
(inclinação positiva) e, portanto f é crescente nos intervalos fechados
[ 2 , 3 ] , x 4 , x5
] e [ x 5 , x6
] ;
• No intervalo ( 3,
x 4 ) temos que , 3 , 4 ) , pois todas as retas
tangentes ao gráfico de f são inclinadas para a esquerda (inclinação negativa)
e, portanto f é decrescente em x 3 , x ] .
[ 4
Observação 1: O teorema 3 diz que podemos obter informações sobre o
comportamento do gráfico de f estudando o sinal da função f ′ (função derivada
de f ). Conforme vimos no exemplo5 da seção2.8 os únicos pontos em que a função
pode mudar de sinal são aqueles onde ela se anula ou onde é descontínua. Em
particular, a função f ′ pode mudar de sinal em x = a se f ′(a)
= 0 ou ∃/ f ′(
a)
.
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