Cálculo Diferencial e Integral I

Figura 8: Reta secante aproximando da tangente (o ponto Q está à direita de P ).
Intuitivamente, o coeficiente angular da secante se aproxima de um
determinado valor m , à medida que o ponto Q se aproxima de P . O modo de
aproximar-se Q de P consiste em fazer x se aproximar de a (ou,
equivalentemente, ∆x
= x − a se aproximar de zero). Observe que na figura 8 fizemos
Q se aproximar de P pela direita o que equivale a tomar ∆x
= x − a positivo. Note
que, quando Q se aproxima de P pela esquerda ∆x
= x − a é negativo e o
coeficiente angular da secante também se aproxima do valor m . Isso acontecendo,
definimos a reta tangente à curva C no ponto P como sendo aquela que passa por
P e cujo coeficiente angular é m .
Considerando o conceito de limite podemos expressar mais adequadamente na
forma
m =
lim m
Q→P
PQ
=
∆y
lim
∆x
∆x→0
= lim
x→a
f ( x)
− f ( a)
.
x − a
Observação 2: Outra expressão para a inclinação da reta tangente é
considerar a mudança de variável ∆x
= x − a . Assim, x = a + ∆x
e, quando x → a
temos que ∆x → 0 . Daí, se o limite existe, temos:
m =
lim
x→a
f ( x)
− f ( a)
x − a
=
lim
∆x→0
f ( a + ∆x)
−
∆x
f ( a)
∆x
Com o intuito de simplificar a notação é comum utilizar a letra
e, neste caso, podemos escrever
h
no lugar de
m =
f ( x)
− f ( a)
lim
=
x − a
x→a
h→0
f ( a + h)
−
lim
h
f ( a)
(se o limite existir).
65