Cálculo Diferencial e Integral I

Exemplo 1: Se , e são números reais, então lim ( b x + b = b a + b ,
bo
1
pois utilizando os limites básicos vistos nos exemplos 2 e 3 (seção 2.2) juntamente
com as propriedades P1 e P3, temos que
x→a
Usando os mesmos argumentos, podemos mostrar que para números reais ,
bn−1
1
, ... , b , b temos que
x→a
b a
o
o
1 x + bo
) = lim b1
x + lim bo
= b1
lim x + lim
x→a
x→a
x→a
x→a
para todo n ≥ 2 . Segue então, que:
n n−1
• se p é uma função polinomial do tipo p ( x)
= bn
x + bn−1 x + + b1
x + bo
, para
todo n ≥ 0 , então lim p(
x)
= p(
a)
.
x→a
p(
x)
• se f é uma função racional do tipo f ( x)
= , sendo p , q funções polinomiais,
q(
x)
p(
x)
p(
a)
então lim f ( x)
= lim = = f ( a)
.
x a x → a q(
x)
q(
a)
x→a
o
1 )
lim ( b b = b a + b
n
o
n
n−1
n n−1
n−1 x + + b1
x + bo
) = bn
a + bn−1
a +
lim ( b x + b
+ b a + b
1
1
o
o
1
b n
→
x a
Observação 3: Nos exemplos acima de limites com tendendo a , tivemos
sempre a no domínio de f e lim f ( x)
= f ( a)
Quando isto ocorre, dizemos que f é
x→a
contínua no ponto a . Falaremos mais adiante sobre estes tipos especiais de funções.
Exemplo 2: Para a função f definida por f ( x)
= ( 5x
+ 6) ( x − 1)
temos que
lim
x→2
( 5x
+ 6)(
x − 1)
Propriedade (P7
)
=
Propriedade (P4
)
lim ( 5x
+ 6)(
x − 1)
=
x→2
lim ( 5x
+ 6)
⋅ lim ( x − 1)
x→2
x→2
Função Polinomial
=
( 5.
2 + 6)
⋅ ( 2 − 1)
=
16
= 4
Exemplo 3: Para a função f definida por f ( x)
, temos que
3
5x
− x
=
2
( x + 3)
lim
x→1
5x
x
2
3
− x
+ 3
Propriedade (P5 )
=
lim ( 5x
x→1
lim
x→1
( x
2
3
− x)
+ 3)
Função Polinomial
=
3
5.
1 − 1
= 1
2
1 + 3
24