Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Definição 3: Os máximos ou mínimos relativos de
f
f
f
são chamados extremos
relativos de
f
. Os máximos ou mínimos absolutos de são chamados extremos
absolutos de .
Observação 1: Analisando a figura 1 podemos observar que se
f (c) é um
extremo relativo de f então f ′(c)
= 0 ou / ∃ f ′(
c)
, como veremos no próximo
teorema.
Teorema 1 (Teorema de Fermat): Se
f
tem um máximo ou mínimo relativo em
c
e se f ′(c)
existe, então f ′(c)
= 0 .
Demonstração: Suponhamos que f tem um mínimo relativo em c . Assim,
existe um intervalo aberto I , contendo c , tal que f ( c)
≤ f ( x)
para todo x ∈ I , ou
equivalentemente, f ( x)
− f ( c)
≥ 0 para todo x ∈ I . Se f ′(c)
existe, então existe
lim
x→c
f ( x)
− f ( c)
x − c
= lim
x→c
−
f ( x)
− f ( c)
x − c
= lim
x→c
+
f ( x)
− f ( c)
x − c
=
f ′(
c)
.
−
Logo, se x ∈ I e x → c , então x − c < 0 . Assim,
f ( x)
− f ( c)
x − c
f ( x)
− f ( c)
≤ 0 ⇒ lim
≤ 0 ⇒ f ′(
c)
≤ 0 .
− x − c
x→c
Por outro lado, se x ∈ I e x → c , então x − c > 0 . Assim,
+
f ( x)
− f ( c)
x − c
f ( x)
− f ( c)
≥ 0 ⇒ lim
≥ 0 ⇒ f ′(
c)
≥ 0 .
+ x − c
x→c
Portanto, f ′(c)
= 0 .
O caso de máximo relativo pode ser demonstrado de forma análogo.
Observação 2: A interpretação geométrica do Teorema de Fermat é que se
tem um extremo relativo em c e se f ′(c)
existe, então o gráfico de f tem uma
reta tangente horizontal no ponto ( c,
f ( c))
.
f
133
Change language