Cálculo Diferencial e Integral I

Observação 2: Utilizaremos os símbolos f ↑ e f ↓ para representar
crescimento e decrescimento de f , respectivamente. Daí,
• f ′(x)
> 0 (+)
⇒ f crescente ( f ↑ )
• f ′(x)
< 0 (−)
⇒ f é decrescente.( f ↓ )
Exemplo 1: Para determine os valores de
3
f ( x)
= x + x − 8x
− 1
2
nos quais a função
é crescente ou decrescente vamos estudar o sinal da função
⎛ 4 ⎞
f ′ . Como f ′(
x)
= 3x
2 + 2x
− 8 = 3(
x + 2)
⎜ x − ⎟ é derivável em todos os pontos,
⎝ 3 ⎠
temos que f ′ poderá mudar de sinal apenas nos pontos onde f ′(x)
= 0 , ou seja,
x = −2 ou x = 4 3 . Para x < −2
ou x > 4 3 temos que f ′( x)
> 0 ( + ) e, portanto, pelo
teste da 1ª derivada, é crescente nos intervalos ∞ −2 e 4 3,+∞ . Para
f ( − , ] [ )
− 2 < x < 4 3 temos que f ′(x)
< 0 e, portanto, f é decrescente no intervalo
[ − 2,4 3]
. Para simplificar, é comum utilizarmos o diagrama abaixo para representar
a relação do sinal de f ′ com o estudo de crescimento/decrescimento de f .
x
Figura 5: Diagrama da relação de
f ′
com a
f
Exemplo 2: Para determine os valores de x nos quais a função f ( x)
é
crescente ou decrescente vamos estudar o sinal da função f ′ . Como
2
− 3(
x + 4)
f ′(
x)
=
não possui raízes reais temos que
2 2
f ′
( x − 4)
3x
=
x
poderá mudar de sinal
apenas nos pontos onde f não é derivável, isto é, nos pontos x = − 2 ou x = 2 . Mas,
para x < −2 ou − 2 < x < 2 ou x > 2 temos que f ′( x)
< 0 ( −)
e, portanto, pelo teste
da 1ª derivada, é decrescente nos intervalos ∞ −2 , 2,2 e 2,+∞ . O
f ( − , ) ( − ) ( )
diagrama abaixo representa a relação do sinal de f ′ com o estudo de
crescimento/decrescimento de f .
2 −
4
Figura 6: Diagrama da relação de
f ′
com a
f
130