Cálculo Diferencial e Integral I

Nestes exemplos podemos observar que se uma função não for contínua e/ou o
intervalo não for fechado, não temos garantia da existência dos extremos absolutos.
Porém, garantindo que a função é contínua e o intervalo é fechado sempre haverá
máximo e mínimo absoluto e estes ocorrerão nas extremidades do intervalo ou em
um ponto crítico no interior do intervalo. E quando um extremo absoluto ocorrer no
interior ele também será um extremo relativo.
Teorema 3 (Teorema do Valor Extremo): Se
f é uma função contínua no
intervalo fechado [ a,
b]
, então f tem um valor máximo absoluto e um valor mínimo
absoluto em [ a,
b]
.
A demonstração do teorema do valor extremo é mais sofisticada e, portanto,
não iremos demonstrar.
Diretrizes para determinar os extremos absolutos de uma função contínua
em um intervalo fechado [ a,
b]
:
f
• Passo 1: Encontre os pontos críticos de f em [ a,
b]
;
• Passo 2: Calcule o valor de f em cada ponto crítico encontrado no passo 1;
• Passo 3: Encontre f (a) e f (b)
;
• Passo 4: Compare os valores encontrados no passo 2 e no passo 3. O maior dos valores é
o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto de f em [ a,
b]
.
4 3 2
• Exemplo 5: Encontre os extremos absolutos de f ( x)
= 3x
− 16x
+ 18x
,
− 1≤
x ≤ 4 .
Solução: Como f é um função contínua no intervalo fechado [ −1,
4]
temos,
pelo teorema do valor extremo, que f tem um valor máximo absoluto e um valor
mínimo absoluto em [ −1,
4]
. Vamos seguir as diretrizes acima para determinar os
extremos absolutos de f . Vejamos:
3
3
f ′( x)
= 12x
− 48x
+ 36x
= 12 x ( x − 4x
+ 3)
2
Daí, f ′(
x)
= 12x
− 48x
+ 36x
= 12 x ( x − 4x
+ 3)
= 0 ⇔ x = 0 ou x = 1 ou x = 3 .
Portanto, os pontos críticos de f no intervalo [ −1,
4]
são x = 0 , x = 1 e x = 3 .
Mas, f ( 0 ) = 0 ,
2
2
2
138