Cálculo Diferencial e Integral I

Para provar essa regra seguimos a definição de derivada e usamos a Fórmula do
Binômio de Newton que diz: Se
Daí,
n
é um inteiro positivo então
n n n−1
n(
n − 1)
n−2
2 n(
n − 1)(
n − 2)
n−3
3
n−1
( a + b)
= a + na b + a b +
a b + + n ab + b
2
6
( x + h)
− x
f ′(
x)
= lim
h→0
h
1 ⎡ n n−1
n(
n −1)
n−2
2 n(
n −1)(
n − 2)
n−3
3
= lim
→0
⎢x
+ nx h + x h +
x h + +
n xh
h h ⎣
2
6
1 ⎡ n−1
n(
n −1)
n−2
2 n(
n −1)(
n − 2)
n−3
3
n−1
= lim
→0
⎢ nx h + x h +
x h + +
n xh + h
h h ⎣
2
6
⎡ n−1
n(
n −1)
n−2
n(
n −1)(
n − 2)
n−3
2
n−2
n−1⎤
= lim
→0⎢
nx + x h +
x h + +
n xh + h
h
2
6
⎥
⎣
⎦
= n x
n−1
n
n
n−1
+ h
⎤
⎥
⎦
n
n
n
.
− x
⎤
⎥
⎦
n
se α ∈ IR e
Observação 1: Essa regra pode ser generalizada para potências reais, isto é,
α
f ( x)
= x então f ′(
x)
= α x
α −1
Exemplo 1: Vejamos alguns casos particulares desta regra:
f ( x)
= x ⇒ f/
′(
x)
= 1
2
f ( x)
= x ⇒ f/
′(
x)
= 2x
(provada também por definição na seção anterior)
5
f ( x)
= x ⇒ f/
′(
x)
= 5x
1 −1 −2
1
f ( x)
= = x ⇒ f/
′(
x)
= − x = −
x
2
x
(provada também por definição na seção anterior)
f ( x)
=
x = x
1
2
⇒
f/
′(
x)
= x
2
4
1 − 1 2
1
=
2 x
Exemplo 2: Para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
f ( x)
=
no ponto ( 3,
9)
lembramos que a derivada no ponto a , dada por f ′(
a)
= 2a
, fornece o
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a,
f ( a))
. Neste caso,
2
x
78