Cálculo Diferencial e Integral I

nesse trecho, conforme a figura. As duas cidades vão ser ligadas por uma ponte AB,
perpendicular ao rio, de modo que a soma das distâncias XA + AB + BY seja a menor
possível. Onde deverá ser localizada essa ponte?
Solução: Para modelar o problema vamos identificar as variáveis a serem
utilizadas. Denotemos por a a distância da cidade X à margem do rio, por b a
distância da cidade Y à outra margem do rio, por l a largura do rio, por P a
projeção de X à reta, paralela ao rio, passando por Y , por d a distância de P a
Y e, finalmente, por x a distância da projeção de X à margem do rio ao ponto A ,
conforme ilustra a figura 1. Vale observar todas as variáveis envolvidas são não
negativas.
Figura 1: Modelagem do problema
Para minimizar
XA + AB +
BY
observamos que
2
XA = a + x
2
, AB = e BY = b + ( d − x) .
2
2
Assim, podemos definir a função
2
2
L( x)
= XA + AB + BY = a + x + + b + ( d − x)
, x∈[ 0,
d]
Como L é uma função contínua definida no intervalo fechado [ 0,
d]
temos, pelo
Teorema do Valor Extremo, que L tem máximo e mínimo absoluto em [ 0,
d]
. Assim,
para minimizar a função L vamos utilizar as diretrizes para determinar os extremos
absolutos de uma função contínua em intervalo fechado. Vejamos:
2
2
152