Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
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Observação 1: Para determinarmos a integral de uma função precisamos
conhecer muito bem o processo de derivação, pois o que pretendemos realizar agora
é um processo inverso que exigirá muita intuição. A seguir exibiremos uma Tabela de
Integrais Imediatas a qual usaremos com muita frequência.
Tabela de Integrais Imediatas
Nesta tabela admitiremos α , a e C constantes tais que α ≠ −1
e a > 0 e
a ≠ 1.
∫
du = u + C
∫
cossec 2 u du = −cotgu
+ C
∫
secu⋅
tgu du = secu
+ C
∫
cossecu⋅
cotgu du = −cossecu
+ C
1
∫
du = arcsenu
+ C
2
1−
u
1
∫
du = arctgu
+ C
2
1+
u
1
∫
du = arcsecu
+ C
2
u u −1
∫
senh u du = cosh u + C
∫
sec 2 +
∫
coshu du = senhu
+ C
(1)
(9)
(8) u du = tgu
C
(16)
1
(2) ∫
du = ln u + C
u
(10)
α + 1
α u
(11)
(3) ∫
u du = + C
α + 1
u
(12)
u a
(4) ∫
a du = + C
ln a
u u
(5) ∫
e du = e + C
(6) ∫
senu du = −cosu
+ C
(13)
(14)
(7) ∫
cosu du = sen u + C
(15)
Exemplo 1: Calcule as integrais indefinidas:
(i)
(ii)
(iii)
∫
⎛ 4 2 1 ⎞
4
2 1
5 3
⎜5x + 6x
+ ⎟dx
= x dx + x dx + dx = x + x + x + C
⎝
x ⎠
∫5
∫6
∫
2
2
2 x
∫
( e
∫
x
+ 4sec x⋅
tg x)
dx =
∫
∫
x
e dx + 4
⎛ 2 1 ⎞ 1
⎜ + dx = dx +
x
⎟ 2
2
⎝ 1−
x
∫
⎠ x ∫
sec x⋅
tg xdx = e
1
1−
x
2
x
+
4sec
x + C
dx = 2ln x + arcsen x + C
(iv)
∫
(5
x
− x
−2
+ sec
2
x)
dx =
∫
x
5 dx +
∫
−1
dx +
2
x
∫
sec
2
x
5 1
x dx = + + tg x + C
ln5 x
158