Cálculo Diferencial e Integral I

Vamos agora analisar o comportamento de uma partícula que se move no plano
numa trajetória qualquer, retilínea ou não. Seja s o espaço percorrido pela partícula
até certo instante de tempo t . Como s é uma função do tempo, escreveremos
s = s(t) . Agora vamos considerar o movimento durante um intervalo de tempo ∆t
,
isto é, entre um intervalo de tempo t e outro instante subsequente t + ∆t
.
Consequentemente, o espaço s sofrerá uma variação correspondente ∆s
. Essa
variação, dada por ∆s
= s( t + ∆t)
− s(
t)
, é o espaço percorrido desde o instante t até o
instante t + ∆t . A velocidade média Vm
, nesse intervalo de tempo que vai de t a
t + ∆t , é definida como sendo igual ao quociente da variação do espaço percorrido
s(
t + ∆t)
− s(
t)
∆s
pelo tempo gasto em percorrê-lo, isto é, v m =
= .
∆t
∆t
2
Exemplo 1: A função s , definida por s ( t)
= 10t , 0 ≤ t ≤ 4 , fornece a distância,
em km, em linha reta, que um motorista de caminhão se encontra do local de partida
após t horas. Assim,
• no intervalo de t = 2,8 a t = 3 horas a taxa média de variação no espaço é
∆s
s( 3)
− s(
2,
8)
90 − 78,
4
=
= = 58
∆t
3 − 2,
8 0,
2
km/h que é a velocidade média no intervalo de
2,8 a 3 horas.
• no intervalo de t = 2,9 a t = 3 horas a taxa média de variação no espaço é
∆s
s( 3)
− s(
2,
9)
90 − 78,
4
=
= = 59
∆t
3 − 2,
9 0,
1
km/h que é a velocidade média no intervalo de
2,9 a 3,0 horas.
• no intervalo de t = 3 a t = 3, 2 horas a taxa média de variação no espaço é
∆s
s( 3,
2)
− s(
3)
102,
4 − 90
=
=
= 62 km/h que é a velocidade média no intervalo
∆t
3,
2 − 3 0,
2
de 3,0 a 3,2 horas.
Sabemos que a velocidade do carro varia durante o percurso, isto é, o carro
tem sua velocidade aumentada ou diminuída durante o intervalo de tempo
considerado. Daí, a velocidade média pode não ser igual à velocidade mostrada no
velocímetro no instante t (velocidade instantânea). Por exemplo, como podemos
saber exatamente qual é a velocidade (velocidade instantânea) do carro no instante
t = 3 ? Para isso vamos calcular a velocidade média em intervalos de tempo ∆t
cada
vez menores e próximos de t = 3 . Vejamos alguns dados em uma tabela.
Intervalo de tempo
2,8
≤ t ≤ 3
∆ t (h)
∆ s (km)
∆s
v m = (km/h)
∆t
0,2 11,6 58
114