Cálculo Diferencial e Integral I

Teste o seu conhecimento
1. Faça o que se pede:
2
1.1. Um estudante afirma que se 0 < δ ≤ 1 e 0 < | x + 2 | < δ implica | x + x − 2 | < 5δ
. Você
concorda ou discorda? Justifique apresentando os cálculos.
2
1.2. Prove, usando a definição, que lim ( x + x)
= 2 .
x→−2
2. Prove, por definição, que
→−1
2
= −2
x
lim x
3. Prove que lim 2
= 0 , mostrando que para todo , existe um número real ,
→+∞
5x
− 1
ε > 0
N > 0
x
2
tal que se x > N então − 0 < ε .
5x
− 1
4. Nos exercícios abaixo, calcule os limites:
x + 4
lim
4.1. x→2 3x
− 1
2
lim x + 5x
+ 6
4.2. x→2 x + 2
lim 3
2 x + 3
4.3. x→4
x x − 2
lim
4.4. x→2 3x
− 4
( 4)
3
lim x +
4.5. x→−1 x + 2
x + 4
lim 5
1
x→
2x
4.6. 2
2
lim x − 4
4.7. x→2 x − 2
3 2
x − 6x
+ 11x
− 6
lim
x→1 2
4.8. x − 1
3 2
x − 5x
+ 8x
− 4
→2 3 2
4.9. x − 7x
+ 16x
−12
4
4.10.
4.11.
4.12.
( 2 + x)
lim
x
lim
x→0
lim
x→0
lim
− 16
x
x + 2 − 2
x
2(
2
x
x
x→−4 +
− 8)
+ x
4
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
lim
3
x −1
x 1
x→1 −
lim
x→a
lim
x→0
3
3
3
x − a
; a ≠ 0
x − a
x
x
2
2
+ a
+ b
x − 1
→1 4
x −
1
2
2
lim
x
3 2 3
x − 2
( ) 2
→1 − 1
x lim
x
3 − 5 + x
lim
− − x
x→4
1 5
lim
1+
x −
x
lim
2x
− 5
x + 8
x→0
x→+∞
x→−∞
3
− a
; a,
b > 0
− b
x + 1
1−
x
2x
− 3x
+ 5
lim
5
4x
− 2
→+∞
4x
+ 3
2 −
lim x
4x
7
lim 4x
+ 3
x→−∞
4x
2 − 7
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
4.31.
4.32.
4.33.
4.34.
4.35.
lim x
⎛
⎜
⎝
x→+∞
lim
x→+∞
⎛
⎜
⎝
lim
⎛
⎜
→+∞⎝
x
lim
⎛
⎜ ⎝
x→+∞
lim
⎛ ⎜
→−∞⎝
x
x
x
x
x
2
2
3 3
3 3
x
x +
2
+ 1 − x
⎞
⎟ ⎠
+ 1 −
x
+ x − x
⎞
⎟
⎠
+ 1−
x
⎞
⎟
⎠
+ x −
x +
x +1
lim x→+∞
3
x − 2x
→−∞
2
x −1
lim x
x
lim
+ x 3
x→3 −
x
lim
3
− x − 3
x→
lim
1
2
x→2 + x −
lim
1
2
x→2 − x −
lim
x→+∞
+ 1
3 3
x
x
2
− 1
⎞
⎟
⎠
+ 1
⎞
⎟
⎠
[ ln ( x + 1)
− ln ( x)
]
41