Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
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∫
2
2 (
x + x + 1
x + x + 1
*)
1 ⎛ 1 x + 1 ⎞
dx =
3 2
dx
x + x + x − 3 ∫ 2
=
( x −1)(
x + 2x
+ 3) ∫
⎜ + ⎟dx
=
2
2 ⎝ x −1
x + 2x
+ 3 ⎠
1 1 1 2x
+ 2
= dx
2 x −1
4 x + 2x
+ 3
∫
dx +
∫
=
1 1
2
ln x −1
+ ln x
2 + 2x
+ 3 + K =
2
4
= ln
4 2
x −1
⋅ x + 2x
+ 3 + K
(*)
2
x + x + 1
3 2
x + x + x − 3
=
2
x + x + 1
2
( x −1)(
x + 2x
+ 3)
=
A
+
x −1
Bx + C
2
x + 2x
+ 3
2
2
⇒ A(
x + 2x
+ 3) + ( x −1)(
Bx + C)
= x + x + 1
2
2
⇒ ( A + B)
x + (2A
− B + C)
x + (3A
− C)
= x + x + 1
⎧ A + B = 1
⎪
Fazendo a identidade dos polinômios, obtemos o sistema: ⎨2A
− B + C = 1
⎪
⎩ 3A
− C = 1
cuja solução é dada por
1 ⎛ 1
= ⎜ +
2 ⎝ x −1
x
2
x + 1
+ 2x
+ 3
⎞
⎟
⎠
1
A = B = C =
2
. Portanto, podemos escrever
2
x + x + 1
3 2
x + x + x − 3
(Caso 4) q(x) é um produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis,
sendo que alguns dos fatores quadráticos se repetem.
Neste caso, para cada fator quadrático irredutível ( ∆ = b
− 4c
< 0 ) da forma
2
x + bx + c , que se repete com multiplicidade k , corresponderá uma soma de
frações parciais da forma
2
A1
x + B1
A2
x + B2
+
2
2
x + bx + c ( x + bx + c)
2
Ak
x + Bk
+ +
2
( x + bx + c)
k
Estas constantes podem ser determinadas conforme o exemplo que se segue.
Exemplo 5: Calcule a integral
∫
x
5
x
− x
4
4
+ 4x
+ 2x
3
2
+ x − 2
dx
2
− 2x
+ x −1
175
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