Cálculo Diferencial e Integral I

comprimento da circunferência, em cm. Observe que, à medida que o tempo passa,
o raio e o comprimento aumentam, de modo que o raio r = r(t) e C = C(t)
são dados
em função de t . Sabemos que as variáveis r = r(t)
e C = C(t)
estão relacionadas por
meio da fórmula C( t)
= 2π
r(
t)
. Além disso, a informação que o raio cresce à taxa de
dr
21 cm/s, significa que = 21 cm/s. Precisamos determinar a que taxa aumenta o
dt
dC
comprimento da circunferência, isto é, . Derivando implicitamente, em relação a
dt
t , a equação C( t)
= 2π
r(
t)
, encontramos uma nova equação que envolve as taxas de
variação, isto é,
dC dr
= 2π ( as taxas estão relacionadas).
dt dt
dr
dC dr
Agora, considerando que = 21, temos = 2 π = 2π
⋅ 21 = 42π
≈ 42⋅3, 14 = 13195 , cm/s,
dt
dt dt
isto é, a taxa com que o comprimento da circunferência aumenta é de,
aproximadamente, 131,95 cm/s e independe, neste caso, do raio.
Diretrizes para resolver problemas envolvendo taxas relacionadas.
• Passo 1: Desenhe, se possível, uma figura e identifique as variáveis e as
constantes. Use t para tempo. Considere que todas as variáveis são funções
deriváveis de t ;
• Passo 2: Expresse todas as informações numéricas dadas em termos dos
símbolos que você escolheu;
• Passo 3: Expresse o que você deseja determinar, geralmente uma taxa, em
termos da derivada;
• Passo 4: Obtenha uma equação que relacione as variáveis do problema. Talvez
você possa combinar duas ou mais equações para conseguir uma única,
• Passo 5: Derive implicitamente, em relação a t , a equação encontrada no
passo 4. Neste caso, será encontrada uma nova equação que envolve as taxas
de variação (taxas relacionadas);
• Passo 6: Expresse a taxa que você deseja determinar em termos das taxas e
variáveis cujos valores são conhecidos;
• Passo 7: Substitua as informações numéricas dadas na equação obtida no passo
6 para encontrar a taxa desconhecida. Estes valores numéricos devem ser
introduzidos somente no estágio final do processo de resolução do problema.
Exemplo 2: Quando uma chapa metálica circular é aquecida, seu raio aumenta
a uma taxa de 0,01cm/min. Determine a que taxa a área da chapa aumenta quando
seu raio é de 50cm.
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