Cálculo Diferencial e Integral I

Exemplo 17: Para derivar
y
=
2
3
( x − 7x
+ 2)
4
, podemos optar pelos seguintes
métodos de derivação:
Método 1: Aplicar a regra do quociente e depois a regra da cadeia.
(3)′
⋅ ( x
y′
=
2
2
0 − 3 ⋅ 4 ⋅ ( x
=
( x
− 7x
+ 2)
−12(2x
− 7)
=
2
5
( x − 7x
+ 2)
2
( x
2
4
− 3 ⋅
− 7x
+ 2)
− 7x
+ 2)
3
− 7x
+ 2)
8
2
4
[(
x − 7x
+ 2) ]
8
⋅ (2x
− 7)
′
Método 2: Aplicar a regra da derivada de uma constante por uma função e
depois a regra da cadeia.
Inicialmente escrevemos
y
3 2
−4
= 3(
x − 7x
+ 2
4
= )
2
( x − 7x
+ 2)
.
Daí,
2
−4
2
5
12(
2 7)
[(
7 2)
]′
− x −
x − x + = −12[ ( x − 7x
+ 2)
] ⋅ ( 2x
− 7)
=
2
5
′
−
y = 3 ⋅
( x
− 7x
+ 2)
.
Agora, retornamos nas consequências da regra da cadeia:
Se é uma função derivável, então y = sen g(
x)
⇒ y′
= cos g(
x)
⋅ g′
( x .
g [ ] [ ] )
Alternativamente, se u = g(x) , então (sen u )′ = (cosu)
⋅ u′
.
Exemplo 18: Para derivar
y = sen x podemos proceder diretamente pela
1
consequência2 da regra da cadeia sendo g(
x)
= x e g′
( x)
= . Daí,
2 x
y′
= cos
[ g(
x)
] ⋅ g′
( x)
= cos x
Similarmente, supondo u = g(x) uma função derivável, podemos deduzir outras
consequências da regra da cadeia, a saber:
2
1
x
.
93