Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
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Derivada do produto: Sejam f e g funções deriváveis. Se y = f ( x)
⋅ g(
x)
, então
y ′( x)
= f ′(
x)
⋅ g(
x)
+ f ( x)
⋅ g′
( x)
, ou equivalentemente,
d
d
d
[ f ( x)
⋅ g(
x)
] = [ f ( x)
] ⋅ g(
x)
+ f ( x)
⋅ [ g(
x)
].
dx
dx
dx
Em palavras, "a derivada do produto é a derivada da primeira pela segunda, mais a
primeira, pela derivada da segunda".
Para provar essa regra usaremos a definição de derivada. De fato,
[ f ( x + h)
⋅ g(
x + h)
] − [ f ( x)
⋅ g(
x)
]
y(
x + h)
− y(
x)
y′
( x)
= lim
= lim
h→0
h
h→0
h
f ( x + h)
⋅ g(
x + h)
− f ( x + h)
⋅ g(
x)
+ f ( x + h)
⋅ g(
x)
− f ( x)
⋅ g(
x)
= lim
h→0
h
[ f ( x + h)
− f ( x)
] ⋅ g(
x)
+ f ( x + h)
⋅[ g(
x + h)
− g(
x)
]
= lim
h→0
h
f ( x + h)
− f ( x)
g(
x + h)
− g(
x)
= lim
⋅ g(
x)
+ lim f ( x + h)
⋅
h→0
h
h→0
h
f ( x + h)
− f ( x)
g(
x + h)
− g(
x)
= lim
. lim g(
x)
+ lim f ( x + h)
⋅ lim
h→0
h h→0
h→0
h→0
h
(*)
= f ′(
x)
⋅ g(
x)
+ f ( x)
⋅ g′
( x)
(∗)
Utilizamos o fato que, sendo f derivável, então f é contínua. Daí,
lim f ( x + h)
=
h→0
0
⎛ ⎞
f ⎜ lim ( x + h)
⎟ =
⎝ h→
⎠
f ( x)
.
Exemplo 8: Vejamos alguns exemplos:
f ( x)
= ( 3x
+ 2)(
4x
+ 1)
⇒
f ′(
x)
= ( 3x
+ 2)
′(
4x
+ 1)
+ ( 3x
+ 2)(
4x
+ 1)
′
= 3(
4x
+ 1)
+ ( 3x
+ 2)
4 = 24x
+ 11
3
2
f ( x)
= ( 2x
+ 1) ( 3x
+ x)
⇒ f ′(
x)
= 6x
( 3x
+ x)
+ ( 2x
+ 1) ( 6x
+ 1)
x
x
2
= 30x
4
2
+ 8x
3
3
+ 6x
+ 1
[(ln
)sen x cos x ]
f ( x)
= 2 sen x ⇒ f/
′(
x)
= ( 2 ln 2)sen
x + 2 cos x = 2 2 +
x
x
Observação 4: Do mesmo modo que a derivada do produto não é igual ao
produto das derivadas, a derivada do quociente não é igual ao quociente das
derivadas.
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