Cálculo Diferencial e Integral I

Teorema 1 (Teorema de Rolle): Seja
f uma função contínua no intervalo fechado
[ a , b]
( a , b)
f ( a)
= f ( b)
e derivável no intervalo aberto . Se , então existe pelo menos
c a < c < b f ′(c)
= 0
um ponto , , tal que .
Em palavras, este teorema diz que sendo f uma função contínua em [ a,
b]
e
derivável em ( a , b)
tal que f ( a)
= f ( b)
então existe pelo menos um número c entre
a e b tal que a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( c,
f ( c))
é uma reta horizontal
(tem coeficiente angular f ′(c)
= 0 ).
Teorema 2 (Teorema do Valor Médio (TVM): Seja
f uma função contínua em
[ a , b]
e derivável em ( a,
b)
. Então existe um número c , no intervalo ( a,
b)
tal que:
f ( b)
− f ( a)
f ′( c)
=
ou, equivalentemente, f ( b)
− f ( a)
= f ′(
c)(
b − a)
.
b − a
Figura 2: Representação gráfica do TVM
f ( b)
− f ( a)
Observe que
é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos
b − a
( a , f ( a))
e ( b , f ( b))
e f ′(c)
é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
f no ponto ( c,
f ( c))
. Daí, o TVM diz que existe uma reta tangente ao gráfico de f
que é paralela a reta que passa pelos pontos ( a , f ( a))
e ( b,
f ( b))
.
Agora, considere a figura 4.
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