Cálculo Diferencial e Integral I

5.5 Integração por Substituição Trigonométrica.
Suponhamos que desejamos calcular uma integral onde o integrando contém
2 2 2 2
2 2
expressões da forma a − u , a + u ou u − a , onde admitiremos a > 0 .
Nestes casos, quando não for possível uma substituição simples, podemos remover o
radical com substituições trigonométricas convenientes.
(i) A função integrando envolve a expressão
2 2
a − u
du = a cosθ dθ
Neste caso, podemos fazer a substituição u = asenθ . Assim, , e desta
forma podemos escrever:
2 2 2
2 2
2
2 2
a − u = a − ( asenθ
) = a (1 − sen θ ) = a cos θ = acosθ
(ii) A função integrando envolve a expressão
2 2
a + u
u = a tgθ
2
Neste caso, podemos fazer a substituição . Assim, du = asec
θ dθ
, e desta
forma podemos escrever:
2 2 2
2 2 2
2 2
a + u = a + ( a tgθ
) = a (1 + tg θ ) = a sec θ = asecθ
(iii) A função integrando envolve a expressão
2 2
u − a
du = asecθ
⋅ tgθ
dθ
Neste caso, podemos fazer a substituição u = asecθ . Assim, , e
desta forma podemos escrever:
2 2
2 2 2 2
2 2
u − a = ( asecθ
) − a = a (sec θ −1)
= a tg θ = a tgθ
Vejamos alguns exemplos para esclarecer o procedimento.
Exemplo 1: Calcule a integral
∫
4 − x
2
x
2
dx
Solução:
∫
2 )
4 − x *
x
2
dx
2
( 4 − (2senθ
)
4(1 − sen θ )
=
∫
2cosθ
dθ
=
2cos
θ d
2
2
θ
(2senθ
) ∫ 4sen θ
2
2
4cos θ
2cosθ
=
∫
2cosθ
dθ
=
θ dθ
θ ∫
2cos =
2
2
4sen
4sen θ
2
∫
4cos
4sen
= ⎛ cos θ ⎞
2
∫
⎜ ⎟ d θ = cotg θ dθ
=
∫ (cossec
2 θ −1)
dθ
⎝ senθ
⎠
∫
2
2
θ
dθ
θ
168