Cálculo Diferencial e Integral I

Definição 1: Suponhamos que C é uma curva dada pelo gráfico de uma função f ,
a C P( a,
f ( a))
contínua em um ponto . Definimos a reta tangente a em um ponto
como sendo:
A reta que passa por P com coeficiente angular (inclinação) dado por
m =
f ( x)
− f ( a)
lim
=
x − a
x→a
∆x
→0
f ( a + ∆x)
− f ( a)
∆x
desde que esse limite exista.Neste caso, a equação da reta tangente é dada por
y − f ( a)
= m ( x − a)
A reta vertical de equação x = a se
lim
x→a
+
f ( x)
− f ( a)
= + ∞ ( ou
x − a
− ∞)
e
lim
lim
x→a
−
f ( x)
− f ( a)
= + ∞ ( ou
x − a
− ∞)
Exemplo 2: Para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
f ( x)
= 4x
− 3 no ponto P ( 3,
3)
devemos inicialmente observar que o ponto P( 3,
3)
pertence ao gráfico de f . Agora, vamos determinar o coeficiente angular da reta
tangente, utilizando a definição 1. Daí,
m =
lim
h →0
f ( 3 + h)
−
h
f ( 3)
=
lim
h→0
4(
3 + h)
− 3 −
h
9
=
lim
h→0
4h
+ 9 − 3
h
=
=
(
lim
h→0
lim
h→0
4h
+ 9 − 3)(
h (
4
=
4h
+ 9 + 3
4h
+ 9 + 3)
4h
+ 9 + 3)
4
6
=
2
3
=
lim
h(
h→0
4h
4h
+ 9 + 3)
Portanto, a equação da reta tangente à curva f ( x)
= 4x
− 3 no ponto P( 3,
3)
é
2
2
dada por: y − f ( a)
= m(
x − a)
⇔ y − 3 = ( x − 3)
⇔ y = x + 1.
3
3
Exemplo 3: Para encontrar o coeficiente angular
2
m da reta tangente à
parábola f ( x)
= x num ponto arbitrário P(
a,
a ) procedemos segundo a definição 1.
2
2
f ( x)
− f ( a)
x − a ( x + a)(
x − a)
Daí, m = lim
= lim = lim
= lim ( x + a)
= 2a
ou, se
x→a
x − a x→a
x − a x→a
x − a x→a
preferir, podemos determinar a inclinação da reta tangente da seguinte forma:
2
66