Cálculo Diferencial e Integral I

Observação 2: Esta regra se aplica para um número finito de funções, isto é,
o resultado pode ser aplicado diversas vezes e assim a derivada da soma de um
número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se estas existirem.
Exemplo 5: Vejamos alguns exemplos:
(i)
(ii)
5
3
2
f ( x)
= 3x
+ 6x
+ 2x
+ 7x
+ 9 ⇒ f/
′(
x)
= 15x
+ 18x
+ 4x
+ 7
x
3
f ( x)
= 2e + x ⇒ f ′(
x)
= 2e
x
1
+
3 x
3 2
4
2
Exemplo 6: Para achar o ponto da parábola
f ( x)
= ax + bx + c,
a ≠ 0 , no qual
a tangente é horizontal lembramos que retas horizontais têm coeficiente angular
igual a zero. Desta forma, como f ′( x)
= 2ax
+ b devemos ter f ′(
x)
= 2 ax + b = 0 , ou
b
seja, x = − . Note que este resultado está de acordo com o que foi visto no Ensino
2a
Médio que é denominado de abscissa do vértice da parábola e denotado por
b
x v = − . Como
2a
2
y
v
2
⎛ b ⎞ b ⎞ ab
f xv
a b⎜
⎛ = ( ) = ⎜ − ⎟ + − ⎟ + c =
⎝ 2a
⎠ ⎝ 2a
⎠ 4a
2 2
2
b − 2b
+ 4ac
b − 4ac
∆
=
= − = −
4a
4a
4a
2
2
2
b
− + c
2a
o ponto da parábola no qual a tangente é horizontal é o vértice
⎛ b ∆ ⎞
parábola de coordenadas ⎜ − − ⎟ .
⎝ a 4a
⎠
V ( x v , yv
)
da
2 , 1
Exemplo 7: Considere a parábola f ( x)
= 2x
2 − e o ponto A ( 4,
13)
não
pertencente à parábola. Para encontrar uma equação de cada uma das retas que
passa pelo ponto A, que sejam tangentes à parábola vamos inicialmente encontrar a
equação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto arbitrário ( a,
f ( a))
. Sabemos
que a equação desta reta é dada por y − f ( a)
= f ′(
a)(
x − a)
, e como f ( a)
= 2a
2 − 1 e
f ′(
a)
= 4a
, temos
2
y − ( 2a
−1)
= 4a(
x − a)
⇒
y = 4ax
− 2a
2
−1
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