Cálculo Diferencial e Integral I

π 2
∫
[ ] 1
π 2
Solução: cos x dx = sen x = 1−
0 = . Note que, como a função
0
0
f ( x)
= cos x
⎡ ⎤
é contínua e não negativa em ⎢
0,
π , resulta que a área sob o gráfico
⎣ 2 ⎥ ⎦
de f , de 0
π
a , é igual a 1.
2
Exemplo 3: Calcule a integral
1
x
∫
dx
2
x + 1
0
Solução: Neste caso, temos dois procedimentos para calcular a integral.
Vejamos em detalhes estes procedimentos.
Primeiro Procedimento: Calculamos, inicialmente, a integral indefinida
x
∫
.
x + 1
dx 2
2
Façamos a mudança de variáveis . Portanto, . De
posse da primitiva de que é dada por , calculamos a
integral. Com efeito,
1 2
x
∫ x + 1
dx
(* )
(
1 1 1
*)
2 =
∫ du = ln u + C = ln( x + 1)
+ C
2 u 2 2
1
(*)
u = x + 1⇒
du = 2xdx
du = xdx
2
x
1 2
f ( x)
= F ( x)
= ln( x + 1)
+ C
x 2 + 1
2
1
∫
0
x
1
1 1 1 1
dx = [ F(
x)]
0
= F(1)
− F(0)
= ln 2 − ln1 = ln 2 − 0 = ln 2 = ln
2
x + 1
2 2 2 2
2
Segundo Procedimento: Calculamos diretamente a integral dada.
1
x
∫
dx
2
x + 1
0
2
Façamos a mudança de variáveis . Portanto, Além disso,
como , então e
(* ) 2
1 1 1
2 1
1
= [ ln ] [ ln 2 ln1] ln 2 ln 2
2∫
du = u + C = − = =
1
u 2
2
2
1
1
(*)
u = x + 1⇒
du = 2xdx
du = xdx
2
u = u(
x)
= x
2 + 1 u( 0) = 1 u( 1) = 2
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