Cálculo Diferencial e Integral I

Observação 8: No caso do exemplo 19 fizemos duas substituições, a saber,
u = cos x e v =
x . Com um pouco de prática, podemos dispensar as substituições
indicadas, tendo presente na memória, porém sem escrevê-las, e proceder, de forma
direta, o processo de derivação. Desta forma, para derivar
seguinte forma:
y
cos
= e
x
procedemos da
y′
=
d
dx
⎡e
⎢⎣
cos
x
⎤
⎥⎦
=
e
cos
x
⋅ (cos
x)
′ = e
cos
x
⋅ ( −sen
1
x)
⋅
2 x
sen
= −
x ⋅ e
2 x
cos
x
Exemplo 20: Para derivar y = tg
5 x 3 vamos utilizar as consequências 1 e 4
mantendo as devidas substituições na memória, sem escrevê-las, isto é,
y′
=
5 3 ′ 3 5
[ tg x ] = [(
tg x ) ]
′ 3
= 5 ( tg x )
4
3
⋅ ( tg x )′
= 5 ( tg x )
3
4
2
3
3
⋅ (sec x ) ⋅ ( x )′
3
= 5 ( tg x )
4
⋅ (sec
2
3
2
x ) ⋅ 3x
= 15
x
2
⋅ tg
4
x
3
⋅ sec
2
x
3
3.4 Derivação Implícita
As funções dadas até agora foram descritas expressando-se uma variável
explicitamente em termos de outra como, por exemplo,
2
y = x + x + 1 ou y = x cos x ou y =
3
f ( x)
que expressa y em termos da variável x , denominada forma explícita de uma
função. Vimos também regras para derivar funções definidas nesta forma.
Entretanto, muitas funções não são expressas na forma explícita e sim através de
uma equação que envolve as variáveis x e y , tais como
x
2
2
3
+ y − 16 = 0 ou x + y = 6xy
ou f ( x,
y)
= 0 .
Nesse caso, a variável y é definida implicitamente como função de x . Em
geral, se uma função for dada sob a forma y = f (x) , então, dizemos que f está na
forma explícita. Porém, se uma função f for expressa por uma equação da forma
F ( x,
y)
= 0 dizemos que está na forma implícita ou que a função y = f (x)
é definida
implicitamente pela equação F ( x,
y)
= 0 . Neste caso, substituindo y por f (x)
tem-se
uma identidade.
3
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