Cálculo Diferencial e Integral I

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
y = cosu
⇒ y′=
( −sen
u)
⋅ u′
y = tg u ⇒ y′=
(sec u)
⋅u′
y = secu
⇒ y′=
(secu⋅
tg u)
⋅ u′
y = cotg u ⇒ y′=
( −cossec
u)
⋅u′
2
y = cossecu
⇒ y′=
( −cossecu
⋅ cotg u)
⋅u′
u u
′
y = a ( a > 0 , a ≠ 1) ⇒ y′=
( a ⋅ ln a)
⋅ u
u u
′
y = e ⇒ y′=
(e ) ⋅u
2
Observação 6: Em todas as consequências da regra da cadeia mencionadas
acima aparecem um fator multiplicativo u′ no final da regra de derivação. Além
disso, quando u = g(
x)
= x as regras de derivação se simplificam obtendo as derivadas
das funções elementares vistas anteriormente. Assim, as consequências da regra da
cadeia nos fornecem uma generalização das derivadas das funções elementares.
Observação 7: Outras consequências da regra da cadeia, semelhantes às
vistas anteriormente, serão apresentadas em uma Tabela Geral de Derivadas que
veremos posteriormente.
A regra da cadeia pode ser usada repetidamente, como veremos no exemplo 19
e exemplo 20 que seguem.
Exemplo 19: Para derivar
y
cos
= e
x
utilizamos os seguintes passos:
• Façamos u = cos x e utilizamos a consequência 9 da regra da cadeia para derivar
u
u cos x
y = e , em relação a x . Daí, y′ = e ⋅ u′
= e ⋅ (cos x)
′ .
• Façamos, agora, v = x e utilizamos a consequência 3 da regra da cadeia para
1
derivar cos v , em relação a x . Assim, (cos v)
′ = ( −sen
v)
v′
= ( −sen
x)
⋅ .
2 x
Unindo os dois passos de derivação obtemos:
y′
= e
u
⋅ u′
= e
cos
x
⋅ (cos
x)
′ = e
cos
x
⋅ ( −sen
1
x)
⋅
2 x
sen
= −
x ⋅ e
2 x
cos
x
.
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