Cálculo Diferencial e Integral I

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Exemplo 5: Determine a área limitada pelas curvas y = x 2 −1 e y = x + 5 .Solução: Sejam f ( x)= x 2 −1e g( x)= x + 5 . Inicialmente, vamos determinar ainterseção entre as curvas dadas. Vejamos,x−1= x + 5 ⇒ x1±− x − 6 = 0 ⇒ x =1+24 1 5⇒ x = .222 2±Logo, as curvas se interceptam nos pontos de abscissa x = −2 e x = 3 . Noteque g( x)≥ f ( x),∀x∈[−2,3]. Então a área procurada, que denotaremos por A , édada porA =3∫−22[ g(x)− f ( x)] dx = [(x + 5) − ( x −1)]27= +2223=12563∫−22⎡ xdx = ⎢⎣ 23x ⎤+ 6x−3⎥⎦3−2⎡9⎤ ⎡48⎤=⎢+ 18 − 9 12 =2 ⎥−⎢− +⎣ ⎦ ⎣23⎥⎦Portanto, a área é1256unidades de área. Observe que recaímos basicamenteno Exemplo 4, o que fizemos foi transladar verticalmente para baixo, 1 unidade, aregião do Exemplo 4. É claro que, desta forma, o valor da área não se altera.5.12 Cálculo de VolumesDefinição: Seja f uma função contínua e não negativa no intervalo [ a,b]e seja Ra região sob o gráfico de f de a até b . A volume do sólido de revolução T , geradopela rotação de R em torno do eixo dos x , é definido porV =desde que o limite exista.limmáx∆x →0iπn∑i=1f2( c i) ∆x i ,bObservação: De acordo com a definição, temos a fórmula V = π f2 ( x)dx .∫a191
Exemplo: Calcule o volume V do sólido T , gerado pela rotação da região R2y = x x, limitada pela curva , o eixox = 0e as retasx = 1e , em torno do eixo dosx.2Solução: Seja f ( x)= x . Sabemos que o volume V é dado porV∫12 πb4= π f ( x)dx = π∫x dx =a05192
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UniversidadeFederaldeViçosaDeparta
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DiretorFrederico Vieira PassosPréd
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SUMÁRIOCAPÍTULO 1. REVISÃO DE FU
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PREFÁCIOEsta obra intitulada CÁLC
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Definição 1: Sejam D e B subconju
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Exemplo 2: Seja g a função defini
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Figura 4: Gráfico da funçãof ( x
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CAPÍTULO 2. LIMITES DE FUNÇÕES2.
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A aproximação de a deve ser consi
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x − 2=| x − 2|Exemplo 4: Seja h
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δ 1Assim, tomando o número como s
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Observação 4: Vale ressaltar que
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Teorema do Confronto (ou Teorema do
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lim f ( x)= L∀ε > 0 , ∃δ > 0
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02 ⎛ 2 ⎞x 722⎜ −77 22⎟−
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36[ ]211111111112222224222442422422
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limx→−∞2x+ 5=22x− 5( ∗)=l
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5. Calcule os limites, se existirem
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xJá, o gráfico de g x⎞⎜⎛ 1(
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xa ⎡ 1 ⎤ a ⎡1 ⎤ a⎛ a ⎞l
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Definição: Dizemos que:• f é c
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Exemplo 2: Considere a função⎧5
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Figura 1: Ilustração gráfica do
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Podemos utilizar este resultado par
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Teste o seu conhecimentoNos exercí
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CAPÍTULO 3. DERIVADA3.1 Reta Tange
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Eis que Fermat, grande matemático
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Figura 7: Reta secante à curvay =f
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Figura 9: Reta tangente vertical ao
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Resumo: Com esta definição e conf
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dPortanto, ( sen x) = cos x .dxExem
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é um número real e, portanto,f (a
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Para provar essa regra seguimos a d
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Derivada do produto de uma constant
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isto é, y = 4ax− 2a2 − 1 é a
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Derivada do quociente: Sejamf egfun
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2(cotg x)′ = − cossec• Se y =
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b)ddx( 3 − x )=2−13 − x11. De
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Vimos que, para derivar a função
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⎛ π ⎞ ππComo y = sen ⎜ −
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Exemplo 1: A equaçãox2+ y2= 16def
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de derivação implícita descrito
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dyutilizaremos o método de deriva
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f ′(x)= − 1(3x+ 1)−2f ′′(
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3.6 Derivadas de Funções Inversas
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Precisamos, agora, escrever cos y e
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ddx2Exemplo 3: Para derivar y = ln
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Teste o seu conhecimento1. Ache os
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8. Seja a função definida por f x
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Vamos agora analisar o comportament
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∆sLogo, para t = 3 tem-se que v(
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Solução: Como a população mundi
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comprimento da circunferência, em
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Derivando implicitamente, em relaç
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determinarPelos dados do problema p
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4.3 Funções Crescentes e Decresce
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Figura 3: f é decrescente em [ −
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Observação 2: Utilizaremos os sí
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Diretrizes para Determinar os Extre
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Nestes exemplos podemos observar qu
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