Cálculo Diferencial e Integral I

isto é, y = 4ax
− 2a
2 − 1 é a equação da reta tangente ao gráfico de f ( x)
= 2x 2 − 1
( a,
f ( a))
em um ponto arbitrário .
Agora, procuramos uma reta que seja tangente ao gráfico de f no ponto
( a , f ( a))
e que passe pelo ponto A ( 4,
13)
. Daí, o ponto A ( 4,
13)
deverá satisfazer a
equação da reta tangente, ou seja, 13 = 4a
⋅ 4 − 2a
2
obtemos a − 8a + 7 = 0 cujas raízes são a = 1 ou a = 7 . Portanto,
1. Simplificando esta equação
• se a = 1 a equação da reta tangente ao gráfico de f que passa pelo ponto do
gráfico P 1( 1,
f ( 1))
e pelo ponto A ( 4,
13)
, não pertencente ao gráfico, é dada por
2
y = 4ax
− 2a
−1
⇒ y = 4x
− 2⋅1
−1
⇒ y = 4x
− 3 .
• se a = 7 a equação da reta tangente ao gráfico de f que passa pelo ponto do
gráfico P 2 ( 7,
f ( 7))
e pelo ponto A ( 4,
13)
, é dada por
2
A figura 2 apresenta um esboço da parábola com as equações de cada uma das
retas tangentes à parábola, passando pelo ponto A ( 4,
13)
.
2 −
y = 4ax
− 2a
−1
⇒ y = 4 ⋅7
⋅ x − 2⋅7
−1
⇒ y = 28x
− 99
2
2
Figura 2: Retas tangentes ao gráfico de
f ( x)
= 2x
2 − 1 que passa pelo ponto A( 4,
13)
Observação 3: Veremos a seguir que a regra do produto não é o produto das
derivadas. De fato, para se convencer deste fato considere as funções f e g dadas
por f ( x)
= 3x
+ 2 e g(
x)
= 4x
+ 1 . Então
2
f ( x)
⋅ g(
x)
= ( 3x
+ 2)(
4x
+ 1)
= 12x
+ 11x
+ 2 e daí [ f ( x)
⋅ g(
x)
]′
= 24 x + 11. Por outro
lado, f ′( x)
= 3 e g′
( x)
= 4 e, desta forma, f ′( x)
⋅ g′
( x)
= 12 . Portanto,
′
[ f ( x)
⋅ g(
x)
] ≠ f ′(
x)
⋅ g′
( x)
.
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