Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
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x
a ⎡ 1 ⎤ a ⎡
1 ⎤ a
⎛ a ⎞
lim 1
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎜ + ⎟ = lim
=
⎝ x ⎠
⎢ ⎥ ⎢
⎥
u→0
+
u→0
+
u→0
+
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
x→+∞
a ⎞ a
Portanto, lim ⎜
⎛ 1 + ⎟ = e .
x→+∞
⎝ x ⎠
Exemplo 4
u
u
u
a
( 1+
u) = lim ( 1+
u) = lim ( 1+
u) e
x
f ( x + h)
− f ( x)
h
Exemplo 6: Para calcular lim
sendo f ( x) = sen x fazemos:
h→0
f ( x + h)
− f ( x)
sen(
x + h)
− sen x sen x cosh
+ senh cos x − sen x
lim
= lim
= lim
h→0
h
h→0
h
h→0
h
sen x(cosh
−1)
+ senh cos x ⎛ cosh
−1
senh ⎞
= lim
= lim ⎜ sen x ⋅ + ⋅cos
x⎟
h→0
h
h→0
⎝ h h ⎠
( ∗)
= sen x ⋅0
+ 1⋅
cos x = cos x
sen(
x + h)
− sen(
x)
Portanto, lim = cos x .
h→0
h
cosh
−1
(∗)
Utilizamos as propriedades de limites, o limite fundamental LF1 e lim = 0 .
h→0
h
Observação: Podemos mostrar que se
f
( x) = cos x
então
f ( x + h)
− f ( x)
lim
h
h→0
0
cos( x + h)
− cos( x)
= lim
h→
h
conforme o exemplo 6. Deixamos este fato como exercício.
= − sen x procedendo analogamente
Exemplo 7: Para calcular
a
lim
x→0
x
− b
x
x
⎡ x
a
⎢
x
⎢⎣
b
x
a
lim
x→0
a − b ⎛ a ⎞
Portanto, lim = ln ⎜ ⎟ .
x→
0 x ⎝ b ⎠
x
=
lim
x→0
x
b
x
x
− b
x
x
⎤
− 1⎥
⎥⎦
= lim b
x→0
façamos:
x
⎡ x
⎛ a ⎞
⎢⎜
⎟
⎢⎝
b
⋅
⎠
⎢
x
⎢
⎢⎣
⎤
− 1⎥
⎥
= b
⎥
⎥
⎥⎦
0
⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞
⋅ ln ⎜ ⎟ = ln ⎜ ⎟
⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠
2.7 Funções Contínuas
Na linguagem cotidiana, usamos a palavra contínuo para nos referirmos a uma
situação que não se interrompe ou ininterrupta. Por exemplo, dizemos que o tempo é
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