Cálculo Diferencial e Integral I

Eis que Fermat, grande matemático do século XVII, generalizou o conceito de
reta tangente à curvas quaisquer. Veja um exemplo ilustrando a técnica desenvolvida
por Fermat.
Exemplo 1: Para encontrar a equação da reta tangente à cúbica
f ( x)
= ( x − 1)
3 + 2 no ponto P ( 1,
2)
devemos encontrar o coeficiente angular m desta
reta a qual denotaremos de reta t . A dificuldade está em termos somente um ponto P
, sobre a reta t , ao passo que para calcular o coeficiente angular são necessários dois
pontos, como vimos anteriormente.
Para calcular uma aproximação de m escolhemos um ponto Q( x,
f ( x))
,
próximo a P ( 1,
2)
sobre a cúbica e calculamos a inclinação m da reta secante
PQ .
PQ
Figura 5: Reta secante à curva
f ( x)
= ( x − 1)
3 +
2
Daí, escolhendo x ≠ 1 , o coeficiente angular desta reta secante é,
evidentemente:
m PQ =
3
3
f ( x)
− 2 ( x − 1)
+ 2 − 2 ( x − 1)
=
= .
x − 1 x − 1 x − 1
As tabelas abaixo mostram os valores de mPQ
para alguns valores de x
próximos de 1 (à direita e à esquerda).
x
mPQ
x mPQ
0 1 2 1
0,5 0,25 1,5 0,25
0,9 0,01 1,1 0,01
0,99 0,0001 1,01 0,0001
0,999 0,000001 1,001 0,000001
Tabela: Análise do coeficiente angular da reta secante
62