Cálculo Diferencial e Integral I

CAPÍTULO 5. INTEGRAÇÃO
Neste capítulo vamos introduzir o conceito de integral indefinida. Este conceito
é de grande importância para definirmos o conceito de Integral Definida que terá um
papel fundamental no cálculo de áreas e volumes.
5.1 Integral Indefinida
Definição 1: Dizemos que uma função
F é uma primitiva (ou antiderivada) de
uma função f , num intervalo aberto I se, e somente se, F ′( x)
= f ( x)
para todo x
em I .
Observação 1: Na definição de primitiva de uma função, quando não
explicitarmos o intervalo I , admitiremos que este seja o domínio de f .
Exemplo 1: Vejamos alguns exemplos:
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(i) Se f ( x)
= 2x
então uma primitiva de f é dada por F ( x)
= x , uma vez que
F′ ( x)
= f ( x)
, ∀x
∈ RI . Note que D ( f ) = RI e, portanto assumimos que I = D( f )
,este fato vai se repetir com muita frequência.
(ii) Se f ( x)
= 2x
então uma outra primitiva de f é dada por F(
x)
= x 2 + 1 , uma vez
que F′ ( x)
= f ( x)
, ∀x
∈ RI .
(iii) Se f ( x)
= cos x então uma primitiva de f é dada por F( x)
= sen x , uma vez
que F′ ( x)
= f ( x)
, ∀x
∈ RI .
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(iv) Se f ( x)
= então uma primitiva de f é dada por F ( x)
= x , uma vez que
2 x
F′ ( x)
= f ( x)
, ∀x
∈ RI .
Neste momento o leitor astuto já deve ter observado que se adicionarmos
qualquer constante a uma determinada primitiva de uma função ainda teremos uma
primitiva desta mesma função. De fato, é o que veremos no teorema que se segue.
Teorema 1: Se F é uma primitiva de f em um intervalo aberto I , então a função
G , definida por G ( x)
= F(
x)
+ C , onde C é uma constante qualquer, também é uma
primitiva de f em I .
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