Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
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Observação 5: Cuidado com as notações f ′( g(
x))
e [ f ( g(
x))
] = [ f ( g(
x))
].
A notação f ′( g(
x))
é o valor que a derivada de f assume calculada em g(x)
,
d
enquanto [ f ( g(
x))
]′
= [ f ( g(
x))
] = f ′(
g(
x))
⋅ g′
( x)
.
dx
′
d
dx
3
3
Exemplo 12: Para derivar y = ( 2 x + 1)
tomamos f ( x)
= x e g(
x)
= 2x
+ 1.
Daí, podemos escrever y = ( f g)(
x)
= f ( g(
x))
. Como f ′( x)
= 3x
e g′
( x)
= 2 temos,
pela regra da cadeia, que
Note que o resultado está de acordo com a conclusão realizada na observação 4
pois y ′ = 6(
2x
+ 1)
= 24x
+ 24x
+ 6 .
2
2
2
[ g(
x)
] ⋅ 2 = 3 ( 2x
+ 1)
⋅ 2 = 6 ( 2 1
y′ = ( f g)
′(
x)
= f ′(
g(
x))
⋅ g′
( x)
= 3 x + )
2
2
2
Outra forma de derivar
y = ( 2 x + 1)
3
é utilizar a regra da cadeia na notação de
Leibniz. Desta forma, chamando u = g(
x)
= 2 x + 1 , temos y = u . Portanto,
dy
dx
dy du d 3 d
2
= ⋅ = ( u ) ⋅ ( 2 x + 1)
= 3u
⋅ 2 = 6(
2x
+ 1)
du dx du dx
3
2
.
Exemplo 13: Para derivar
y = ( 2 x + 1)
1037
procedemos de maneira análoga ao
1037
exemplo 12 fazendo f ( x)
= x e g(
x)
= 2x
+ 1. Daí, y = ( f g)(
x)
= f ( g(
x))
. Como
1036
f ′( x)
= 1037x
e g′
( x)
= 2
temos, pela regra da cadeia, que
1036
y′ = ( f g)
′(
x)
= f ′(
g(
x))
⋅ g′
( x)
= 1037 ( 2x
+ 1)
⋅ 2 = 2074 ( 2x
+ 1)
1036
Exemplo 14: Para derivar
⎛ π ⎞
y = sen ⎜ − x⎟ podemos também proceder da
⎝ 2 ⎠
π
seguinte forma: Escrevemos u = g( x)
= − x
2
e y = f ( u)
= sen u . Daí, utilizando a
regra da cadeia, temos
dy
dx
=
dy
du
⋅
du
dx
⎛ π ⎞ ⎛ π
= (cosu)
⋅ ( −1)
= − cos⎜
− x⎟
= − ⎜cos
cos x
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
π ⎞
+ sen sen x⎟
= − sen x .
2 ⎠
91
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