Cálculo Diferencial e Integral I

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Solução: Dom ( f ) = IR
− { 0}
, f ′(
x)
= 2x
− = 0 ⇔ x = ⇔ x = 1 ⇔ x = ± 1.
Observe que f ′(0)
não existe, mas como 0 ∉ Dom( f ) temos que x = 0 não é ponto
crítico de f . Daí, x = 1 e x = −1
são os únicos pontos críticos de f .
Façamos o diagrama para estudar o sinal de
x
2
3
x
1
3
2
f ′(
x)
= 2x
−
3
x
4
2(
x
=
x
−1)
3
=
2(
x
2
−1)(
x
x
3
2
+ 1)
.
Figura 3: Diagrama da relação de
f ′
com a
f
Portanto, é decrescente nos intervalos ∞ −1 , 0,1 e crescente nos
f ( − , ] ( ]
[ − ) [ )
intervalos 1,0 , 1,+∞ .
Pelo teste da derivada primeira para determinação de extremos, temos que f
tem mínimo relativo em x = −1 e também em x = 1 (ou, equivalentemente,
f ( − 1 ) = f ( 1)
= 2 é um valor mínimo relativo de f . Note que f não tem um máximo
relativo em x = 0 , pois este não é ponto crítico de f .
6 2x
+ 6
Temos que f ′ ( x)
= 2 + = . Observe que f ′′(0
) não existe, mas
4 4
x x
0 ∉ Dom( f ) .
Façamos o diagrama para estudar o sinal de f ′′(x)
:
4
Figura 6: Diagrama da relação de
f ′ com a
f
.
f ′ (x)
> 0 nos intervalos ( ∞,0)
, 0,+∞ . Portanto, pelo teste da 2ª derivada
− ( )
para concavidade, temos que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima nos
( − ) ( )
intervalos ∞,0 , 0,+∞
. f não tem ponto de inflexão.
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