Cálculo Diferencial e Integral I

m =
lim
∆x→0
f ( a + ∆x)
−
∆x
f ( a)
( a + ∆x)
− a
= lim
∆x→0
∆x
∆x
( 2a
+ ∆x)
= lim
=
∆x→0
∆x
2
2
=
a
+ 2a∆x
+ ( ∆x)
∆x
lim ( 2a
+ ∆x)
= 2a
∆x→0
lim
∆x→0
2
2
− a
2
Agora, sabendo-se que o coeficiente angular é
m = 2a
, podemos encontrar a
equação da reta tangente à parábola f ( x)
= x no ponto arbitrário P(
a,
a ) que é
dada por
Em particular, se a = 1 então m = 2 . 1 = 2 e a equação da reta tangente à
parábola f ( x)
= x no ponto P( 1,
1)
é dada por y = 2x
− 1. Note que, em qualquer
outro ponto desta parábola, a tangente terá um coeficiente angular diferente. Por
exemplo, no ponto ( 3 , 9)
, m = 2⋅3
= 6 e a equação da reta tangente é dada por
y = 6x
− 9 .
2
y − f ( a)
= m(
x − a)
⇔ y − a = 2a
( x − a)
⇔ y = 2a x − a
2
2
2
.
2
Observação 3: Você deve observar que a reta tangente e seu coeficiente
angular são objetos diferentes.
Exemplo 4: Para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
3
f ( x)
= x −1 no ponto P( 1,
0)
observamos que
f ( x)
− f ( 1)
lim
= lim
x −1
3
x −1−
0
=
x −1
lim
x→1 −
x→1
−
x→1
− 3 2
1)
( x −
e
1
= + ∞
f ( x)
− f ( 1)
lim
= lim
x −1
3
x −1−
0
=
x −1
lim
x→1 +
x→1
+
x→1
+ 3 2
1
1
( x − )
= + ∞
Daí, de acordo com a definição 1 (parte ii), podemos concluir que a reta
tangente à curva
3
f ( x)
= x − 1 no ponto P( 1,
0)
é a reta vertical de equação x = 1.
A figura 9 ilustra a reta tangente ao gráfico de f ( x)
= 4x
− 3 no ponto P( 1,
0)
.
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