Cálculo Diferencial e Integral I

Notemos que 0, 005 é o maior valor de δ que irá garantir que se
0 < | x − 3 | < δ então | ( 2x − 1) − 5 | < 0,
01. Qualquer valor positivo menor que 0, 005
também serviria como escolha do δ .
Veremos, nos exemplos a seguir, alguns limites que servirão de base para
determinação de limites de expressões mais complexas.
Exemplo 2: Limite de uma função constante. Dado k ∈ RI e f a função
definida por f ( x)
= k , ∀ x∈ RI , temos que lim f ( x)
lim k = k . Para mostrar, por
=
x → a
definição, que lim k = k devemos mostrar que, para cada ε > 0 , existe δ > 0 tal
x→a
( )
que se x ∈ a − δ , a + δ , x ≠ a (ou seja, 0 < | x − a | < δ ), então f ( x)
− k < ε .
Assim, para um dado ε > 0 , podemos tomar qualquer δ > 0 . Essa escolha funciona,
pois se 0 < x − a < δ então f ( x)
− k = k − k = 0 < ε , como queríamos
demonstrar.
x → a
Exemplo 3: Limite da função identidade. Seja
f a função definida por
f ( x)
= x , ∀ x∈ RI então lim f ( x)
lim x = a . Para mostrar, por definição, que
x → a
=
x → a
lim x = a devemos mostrar que, para cada ε > 0 , existe δ > 0 tal que se
x→
a
( )
x ∈ a − δ , a + δ , x ≠ a (ou seja, 0 < | x − a | < δ ), então f ( x)
− a = x − a < ε .
Assim, para um dado ε > 0 , podemos escolher δ = ε . Essa escolha funciona, pois se
0 < x − a < δ então f ( x)
− a = x − a < δ = ε , como queríamos demonstrar.
Teorema (Unicidade do limite): Se lim f ( x)
= L e lim f ( x)
= M , então L = M . Em
x→
a
outras palavras, se o limite existe, então ele é único.
x→
a
Demonstração: Desejamos mostrar que L = M sabendo-se que lim f ( x)
= L e
lim g(
x)
= M . Da definição formal de lim f ( x)
= L e lim g(
x)
= M , temos que dado
x→a
x→a
x→a
qualquer ε > 0 , existem os números δ 0 e δ 2 > 0 tais que
1 >
x→a
0 < x − a < δ 1 ⇒ f x)
− L < ε e 0 < x − a < δ ⇒ f ( x)
− M < ε .
( 2
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