Cálculo Diferencial e Integral I

• para x > 1 , f ′(
x)
= 0 ⇒ f ′′(
x)
= 0 ;
• para x = 1 temos que não existe f ′′(1
) pois f não é derivável em x = 1.
Portanto, a função f ′
é definida por .
⎩ ⎨⎧ 2 se x < 1
f ′′(
x)
=
0 se x > 1
Exemplo 5: Considere a equação
x
4 + 3y
4 =
16 . Vamos calcular, por derivação
d y
implícita, y ′ = admitindo que y define implicitamente uma função duas vezes
2
dx
derivável de x . Vejamos,
2
d
dx
4 4 d
[ x + 3y
] = [ 16]
dx
⇒ y′
=
3
⇒ 4x
− 4x
12y
+ 12y
3
3
3
⋅ y′
=
3
− x
=
3
3y
0
dy
Assim, conseguimos calcular y ′ = expressa em termos de x e y . Agora,
dx
repetimos o método de derivação implícita na nova equação
− x
y′
=
3y
3
3
. Observe que,
inicialmente, para o cálculo da derivada do quociente
− x
3y
3
3
, aplicamos a regra do
quociente e, para a potência
d
dx
3
y
, a regra da cadeia. Daí,
⎡ 3 ⎤
2 3 3
d − x
[ ]
( − 3x
) ⋅ ( 3y
) − ( − x )
y′
= ⎢ ⎥ ⇒ y′′
=
dx
3
2
⎢⎣
3y
⎥
3
⎦
( 3y
)
( ∗)
2
− x
⇒ y′′
=
3
y
2
− 9x
y
⇒ y′′
=
+
3
+ 9x
9y
⎛
⎜
− x
⋅
⎝ 3y
y′
− x
=
3
y
⎞
⎟
− x
=
3
⎠ y
x
+
y
x
−
3y
= − x
⎡ 4
3 y + x
⎢ 7
⎢⎣
3y
⎡ 4 4
2 3 y + x ⎤
Portanto, y′′
= − x ⎢ ⎥ é a derivada segunda expressa em termos de x e y .
7
⎢⎣
3y
⎥⎦
x
y
3
4
6
3
y
2
3
3
⋅ 9y
2
2
2
⋅ y′
3
6
y′
4
7
2
4
⎤
⎥
⎥⎦
(∗)
Utilizamos a relação já encontrada para a derivada primeira expressa em termos de
3
− x
x e y que vale y′
= .
3
3y
103