Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
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Exemplo 2: Considere a função
⎧5x
− 3
f ( x)
= ⎨ 3
⎩ kx
se
se
x ≤ 1
x > 1
sendo k uma constante real. Vejamos se é possível determinar um valor de k de
modo que a função f seja contínua. Note que, para x < 1 temos que f ( x)
= 5x
− 3 e
portanto é contínua. Por outro lado, se x > 1 temos que f ( x)
= kx e da mesma
forma é contínua. Daí, para analisar a continuidade de f , basta analisar a
continuidade em x = 1. Como
3
lim
x→1
−
f ( x)
= lim ( 5x
− 3)
= 2
x→1
−
e
lim
x→1
+
f ( x)
= lim
x→1
+
kx
3
= k
temos que para que exista lim f ( x)
é suficiente que k = 2 . Daí, f é contínua em
x = 1 pois lim f ( x)
= f ( 1)
= 2 = k . Portanto, para que f seja contínua o valor de k
x→1
deve ser igual a 2.
x→1
Teorema 3: Se lim g(
x)
= b e f é contínua em b , então
x→a
lim(
f
x→a
g)(
x)
= lim f ( g(
x))
= f (lim g(
x) ) = f ( b)
x→a
x→a
.
Se g é contínua em a e f é contínua em g ( a)
= b então f g é contínua em a ,
ou seja,
lim(
f
x→a
g)(
x)
= lim f ( g(
x))
= f (lim g(
x) ) = f ( g(
a))
= ( f
x→a
x→a
g)(
a)
Exemplo 3: Para justificar que a função
h( x)
= e
sen x
é contínua observamos
x
que h( x)
= ( f g)(
x)
, sendo f ( x)
= e e g( x)
= sen x . Como f ( x)
= e e g( x)
= sen x
são funções contínuas para todo número real segue, pelo teorema 3, que a composta
h = f g é contínua.
x
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