Cálculo Diferencial e Integral I

Observação 2: Para calcularmos a integral de funções mais complicadas
necessitamos de técnicas mais apuradas, não podemos confiar apenas na Tabela de
Integrais Imediatas e na nossa experiência em derivação. Nosso objetivo agora é
desenvolver métodos de integração para facilitar o processo de integração.
5.3 Método da Substituição (ou Mudança de Variáveis)
Este método se baseia em fazer uma mudança de variáveis com o objetivo de
simplificar a integral que desejamos calcular. Sejam f uma função e F uma
primitiva de f , isto é, F ′ = f .
Suponhamos que g seja uma função derivável tal que podemos considerar a
função composta F g . Nosso problema é calcular a integral ∫
f ( g(
x))
⋅ g′
( x)
dx
.
Sabemos pela regra da cadeia que
( F g)
′(
x)
= [ F(
g(
x))]
′ = F′
( g(
x))
⋅ g′
, no
entanto, como F é uma primitiva de f , então podemos escrever
( F g)
′(
x)
= f ( g(
x))
⋅ g′
( x)
. Desta forma mostramos que F g é uma primitiva de
f ( g(
x))
⋅ g′
( x)
f g x ⋅ g′
x dx = F g x + C
. Assim, podemos escrever: ∫
( ( )) ( ) ( ( ))
( x)
Na prática procedemos da seguinte forma:
( * )
( * )
f g x g′
∫
( ( )) ⋅ ( x)
dx =
∫
f ( u)
du = F(
u)
+ C = F(
g(
x))
+ C
(*)
Façamos a mudança de variável u = g(x)
e note que
du = g′(
x)
dx
Exemplo 2: Calcule a integral .
Solução:
∫
2
∫
2xe x
2
(*) Façamos a mudança de variável u = x e note que
∫
2
dx
2 xe x dx
( *)
u u
e du = e + C
=
(* ) 2
= e
x
+ C
du = 2xdx
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