Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
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f ′(
x)
= − 1(
3x
+ 1)
−2
f ′′(
x)
= ( −3)
⋅ ( −2)
⋅ ( 3x
+ 1)
f ′′′ ( x)
= 18 ⋅ ( −3)
⋅ (3x
+ 1)
− 3
⋅ 3 =
( 3x
+ 1)
−3
−4
2
,
⋅ 3 = 18(
3x
+ 1)
−3
⋅ 3 = − 162(
3x
+ 1)
18
=
( 3x
+ 1)
−4
3
,
− 162
=
( 3x
+ 1)
4
Exemplo 3: Dado que
f ( x)
= sen x
vamos determinar
f
( n)
( x),
para todo,
n
≥ 1,
n∈
IN .
Vejamos:
f
f
f
f
( 0)
( 1)
( 2)
( 3)
( x)
= f ( x)
= sen x
( x)
= f ′(
x)
= cos x
( x)
= f ′′(
x)
= − sen x
( x)
= f ′′′ ( x)
= −cos
x
f
( n)
⎧sen
x ;
⎪
cos x ;
( x)
= ⎨
⎪−
sen x ;
⎪
⎩−
cos x;
n = 0,
4,
8,
n = 1,
5,
9,
n = 2,
6,
10,
n = 3,
7,
11,
( n)
⎛ nπ
⎞
ou, equivalentemente, f ( x)
= sen⎜ + x⎟ , n∈
IN .
⎝ 2 ⎠
⎧ 2
⎪x
se x ≤ 1
⎨
⎪⎩ 1 se x > 1
seguinte forma:
2
• para x < 1,
f ( x)
= x ⇒ f ′(
x)
= 2x
;
• para x > 1 , f ( x)
= 1 ⇒ f ′(
x)
= 0 ;
• para x = 1 temos que aplicar a definição. Como f −
′ ( 1 ) ≠ f +
′ ( 1)
pois,
Exemplo 4: Seja f ( x)
=
. Para encontrar f ′ e f ′
procedemos da
f ′ ( 1)
=
−
lim
x→1
−
f ( x)
− f ( 1)
x − 1
=
lim
x→1
−
2
x − 1
=
x − 1
( x − 1)(
x + 1)
lim
x − 1
x→1
−
=
lim ( x + 1)
= 2
x→1
−
e
f ′ ( 1)
=
+
lim
x→1
+
f ( x)
− f ( 1)
x − 1
=
1−
1
lim =
x − 1
x→1
+
lim
x→1
−
0
= 0
decorre que não existe f ′(1) .
⎧2x
se x < 1
Portanto, a função f ′ é definida por f ′(
x)
= ⎨
.
⎩ 0 se x > 1
De forma análoga, para determinar
f ′
procedemos da seguinte forma:
• para x < 1 , f ′(
x)
= 2x
⇒ f ′′(
x)
= 2 ;
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